Đề chọn ĐT thi HSG tỉnh môn Toán năm 2023 - 2024 chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN

PHAN BỘI CHÂU

(Đề thi gồm có 01 trang)

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH

NĂM HỌC 2023 – 2024

Môn thi: Toán Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1(6,0 điểm).

a) Cho hàm số  y f x  liên tục trên  và có bảng xét dấu của đạo hàm như sau:

x −∞ −2 2 3 +∞

y’ + 0 + 0 − 0 +

Tìm các điểm cực trị của hàm sô   ( ) 2 1 4 g x f x    .

b) Cho hàm số        3 2 2 2 2 3 7 2 32 1 1 6 3 12 10 y f x mx m m x x x m m x           , với m là

tham số. Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số đồng biến trên khoảng   1;  .

Câu 2(5,0 điểm).

a) Cho hình chóp . S ABC có 1, 2, 3, SA SB SC       60 , 120 , 90 o o o ASB BSC CSA    .

Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách giữa các đường thẳng SA và BC .

b) Cho lăng trụ . ABC A B C  có tam giác AB A đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng

đáy. Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng   AB B  và  AB C . Biết 2 sin

5  và 6 AA B C     . Ký hiệu

. ABC A B C V là thể tích khối lăng trụ . ABC A B C . Chứng minh . 24 ABC A B C V  .

Câu 3(5,0 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

4 2 2 2 2 2 1 1 2 2 1 7 x x m x x m x m x x         có nghiệm thực. b) Đặt ngẫu nhiên hết 9 viên bi được đánh số 1;2;3;4;5;6;7;8;9 vào 9 ô vuông của lưới ô vuông 3 x 3 (hình vẽ lưới ô vuông dưới đây) sao cho mỗi ô vuông chỉ được đặt đúng một viên bi. Tính xác suất để tổng các số trên mỗi hàng là số lẻ và tổng các số trên mỗi cột cũng là số lẻ.

Câu 4(2,0 điểm). Cho tứ diện ABCD cố định, P là điểm thay đổi trong tam giác BCD. Gọi M, N, E thứ tự là hình chiếu vuông góc của P lên các mặt phẳng (ACD), (ADB), (ABC). Xác định vị trí của P để thể tích tứ diện PMNE đặt giá trị lớn nhất. Câu 5(2,0 điểm).

Cho các số thực , , a b c thay đổi thỏa mãn các điều kiện a b c   và 2 2 2 5 a b c    . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P ( )( )( )( ) a b b c c a ab bc ca       .

….Hết…

Họ và tên thí sinh…………………………………............… Số báo danh……………………

Đề chính thức

SỞ GD VÀ ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN

PHAN BỘI CHÂU

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HSG TỈNH

NĂM HỌC 2023 – 2024

Môn: Toán

Câu Nội dung Điểm 1 (6,0đ)

a) (3,0 điểm)

Ta có       4 2 '( ) 2 1 4 2 1 4 . 2 1 4 2 1 x g x x f x f x x

            

1,0

Dựa vào dấu của đạo hàm của hàm số  y f x  ta có

Điểm cục trị của ( ) g x phải thoả mãn

5 2

7 2 1 4 2 2 2 1 4 3 3

4 2 1 0

1 2

x

x x

x x

x x

x

                         

1,0

Vì '( ) g x đổi dấu qua các điểm 7 1 5 4; ; ; ;3 2 2 2    nên ( ) g x có các điểm cực trị là

7 1 5 4; ; ; ; 3 2 2 2 x x x x x      .

1,0

b) (3,0 điểm) Ta có, hàm số  f x liên tục trên khoảng   1;  .

       2 2 2 6 6 7 2 48 1 6 3 12 10 , 1; f x mx m m x x m m x           .

Hàm số đồng biến trên khoảng   1;  . khi và chỉ khi    0, 1; f x x    .

Dấu bằng xảy ra tại hữu hạn điểm trên khoảng   1; .

Do        2 2 2 6 6 7 2 48 1 6 3 12 10 , 1; f x mx m m x x m m x           

0,5

       2 2 2 6 7 2 8 1 3 12 10 , 1; f x mx m m x x m m x              

      2 2( 3) 6 3 4 , 1; 5 4 1 x x m m x x x x               

Đặt      2 2( 3) 4 , 1; 5 4 1 x g x m m x x x x        

1,0

   0, 1; f x x     thì    2 2( 3) 4

5 4 1 x g x m m x

x x     

  

phải có nghiệm

0 3 . 1

m x m

     

0,5

Thử lại. ta thấy 0(tm), 1(tm) m m   . Vậy 0, 1 m m  . 1,0

HƯỚNG DẪN CHẤM