Đề học sinh giỏi cấp tỉnh Toán THPT năm 2022 - 2023 sở GDĐT Tiền Giang

Môn Toán - trang 1/2

_________________________________________________

Bài 1: (5,0 điểm)

a) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 1 2 3 3 2 1 3 2 y x m x m m x = − + + + + + , trong đó m là tham

số thực. Tìm tất cả các giá trị nguyên của tham số ( ) 2023;2023 m∈− sao cho hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( ) 0;2 .

b) Cho hàm số 2 1 x y x + = − có đồ thị ( ) C . Tìm trên ( ) C hai điểm ( ) ; A A A x y ,

( ) ; B B B x y sao cho 1 B A x x < < và khoảng cách giữa hai điểm , A B là ngắn nhất.

Bài 2: (4,0 điểm)

a) Giải phương trình

4cos 2sin 2 1 6 6 0 cos

x x

x

π π     − + − −         = .

b) Giải hệ phương trình ( ) 3

2 2 3 2 1

4 9 19

y y x x

y x x x

 

+ = − −

− + = +  +

, trong đó ,x y∈.

Bài 3: (2,0 điểm)

Cho tập { } 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9 X = . Có bao nhiêu số tự nhiên có năm chữ số đôi một khác nhau, các chữ số thuộc tập X và không có hai chữ số liên tiếp nào cùng lẻ?

Bài 4: (4,0 điểm)

a) Cho hai số thực , 1 x y ≥ thay đổi thỏa mãn 2 2 4 x y + = . Tìm giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức ( ) ( ) 3 3 2 M x y x y = + − + .

b) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi

1

1

* 2 1,

2

n n

u

n u u n +

=    = + + ∀∈

. Tính giới hạn

lim 2

n n u .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH TIỀN GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Năm học 2022-2023

Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 03/3/2023

(Đề thi có 2 trang, gồm 6 bài)

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Môn Toán - trang 2/2

Bài 5: (3,0 điểm)

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng BD và SC

bằng 6 6 . Gọi M là điểm di động trên đoạn CB và N là điểm di động trên đoạn CD

sao cho  60 MAN = °. Tính độ dài cạnh SA và tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp .S AMN .

Bài 6: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm I . Biết

rằng điểm 1 1 ; 2 2 E     

là trung điểm cạnh AB, 4 22 ; 5 5 H   −    

là hình chiếu vuông góc của

điểm A trên đường thẳng CI và đường thẳng BC có phương trình là 4 0 x y + − = . Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC .

------------------------------------------------- HẾT -----------------------------------------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ........................................ Số báo danh:…………………………….

Trang 1/6

Bài Nội dung Điểm 1 (5đ) a) Cho hàm số ( ) ( ) 3 2 2 1 1 2 3 3 2 1, 3 2 y x m x m m x = − + + + + + trong đó m là tham số thực. Tìm tất

cả các giá trị nguyên của tham số ( ) 2023;2023 m∈− sao cho hàm số đã cho đồng biến trên

khoảng ( ) 0;2 .

2,5

Ta có ( ) 2 2 2 3 3 2 y x m x m m ′ = − + + + + ; 1 0 2

x m y x m

= +  = ⇔= +  ′ . 0,5

Bảng biến thiên:

0,5

Dựa vào bảng biến thiên suy ra hàm số đồng biến trên khoảng ( ) 2 1 0;2 2 0

m

m

≤ +  ⇔ + ≤ 

0,5

1 2 m m ≥  ⇔ ≤− 

. 0,5

Vậy { } { } 2022; 2021; ; 2 1;2; ;2022 m∈− − … − ∪ … 0,5

b) Cho hàm số 2 1 x y x + = − có đồ thị ( ) C . Tìm trên ( ) C hai điểm ( ) ( ) ; , ; A A B B A x y B x y sao cho

1 B A x x < < và khoảng cách giữa hai điểm , A B là ngắn nhất.

2,5

Đặt 1, 1 A B a x b x = − = − . Ta có , 0 a b > và 3 3 1;1 , 1 ;1 A a B b a b     + + − −        

. 0,5

( )

2 2 2 3 3 36 4 AB a b ab a b ab   = + + + ≥ +    

0,5

36 2. 4 . 24 ab ab ≥ = ⇒ 2 6. AB ≥ 0,5

Dấu “=” xảy ra ⇔

0 3 36 4

a b a b ab ab

= >  ⇔ = =  = 

. 0,5

Vậy min 2 6 AB = khi và chỉ khi ( ) ( ) 1 3;1 3 , 1 3;1 3 . A B + + − − 0,5

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH TIỀN GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Năm học 2022-2023

Môn: TOÁN

Ngày thi: 03/3/2023

(Đáp án gồm có 06 trang)

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHÍNH THỨC