Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2022 - 2023 sở GDĐT TP Hồ Chí Minh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

ĐỀ CHÍNH THỨC

Đề thi gồm 01 trang

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP THÀNH PHỐ

NĂM HỌC 2022 - 2023

MÔN TOÁN

Ngày thi: 07/03/2023

Thời gian làm bài: 120 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1. (4 điểm)

Với m là tham số thực, xét các phương trình: ( )

2 2 2 log log 2023 0 x x m − − = ( )1 và 1 3 3 y y m − + = ( ) 2 .

a) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình ( )1 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 1.

b) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình ( ) 2 có hai nghiệm phân biệt dương.

c) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình ( )1 có hai nghiệm 1x , 2x và phương trình ( ) 2 có hai

nghiệm 1y , 2y ; đồng thời, nếu xét các điểm ( ) 1 1 ; A x y và ( ) 2 2 ; B x y trong hệ trục tọa độ Oxy thì tam giác OAB

vuông tại O.

Câu 2. (4 điểm)

a) Chứng minh rằng tan 2sin 3 0 x x x + −  với mọi 0; 2 x       

.

b) Giải phương trình ( ) ( ) 4 2 2 2sin 4ln cos 2 0 x x x x x  + + − = .

Câu 3. (5 điểm)

Cho hình lăng trụ đứng . ' ' ' ABC A B C có diện tích đáy là 2 2a và chiều cao là 3 2 a .

a) Gọi G là trọng tâm của tam giác ' A BC . Tính thể tích của khối chóp . ' ' ' G A B C .

b) Biết 3 GA a = và 2 2 2 9 GB GC a + = . Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp '. A ABC .

Câu 4. (4 điểm)

Cho hàm số ( )

4

2 2 2 x f x x = − có đồ thị ( ) C . Tìm tất cả các điểm M thuộc ( ) C sao cho tiếp tuyến tại M của

( ) C cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt A, B khác M và 3 MA MB = .

Câu 5. (3 điểm)

Xét hàm số ( )

3

3

3 2 2023

3 2 2022

x x f x

x x

− + + =

− + +

và gọi S là tập hợp các số nguyên có giá trị tuyệt đối không vượt quá

28. Chọn ngẫu nhiên hai số a, b S  với a b  . Tính xác suất để hàm số ( ) f x đồng biến trên khoảng ( ) ; . a b

--------------- TOANMATH.com ---------------

Học sinh không sử dụng tài liệu khi làm bài. Giám thị coi thi không giải thích gì thêm./.