Đề chọn HSG trường Toán 12 năm 2022 - 2023 trường chuyên Phan Bội Châu - Nghệ An

SỞ GD & ĐT NGHỆ AN TRƯỜNG THPT CHUYÊN PHAN BỘI CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TRƯỜNG

NĂM HỌC 2022 – 2023

Môn: Toán học 12 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1 (7,0 điểm).

a) Cho hàm số 4 2 2 3 2 y x mx m     với m là tham số. Tìm m để hàm số có giá trị cực tiểu

bằng 3. 

b) Giải hệ phương trình   

2

2 ( 1) 0

. 2 2 2 4 4 3 5 8

y x y x

y x x x y

             

Câu 2 (2,0 điểm).

Có tám người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người có một đồng xu đồng chất. Cả tám người

cùng tung đồng xu của mình. Ai tung được mặt ngửa thì đứng dậy, còn ai tung được mặt sấp thì

vẫn ngồi yên. Tính xác suất để không có hai người đứng cạnh nhau.

Câu 3 (4,0 điểm).

a) Cho hàm số 

3 4 2 3 2 1 ( 8) ( 4) (2 4) 4 2022, 4 f x m x m x m x x         với m là tham số.

Tìm m để hàm số ( ) f x đồng biến trên đoạn   1;3  .

b) Cho hai số thực thay đổi ,x y thỏa mãn 6 2 6 4 2 3 3 6 4. x x y y y      Tìm các giá trị nguyên

của biểu thức 2 1. 2 3 x y P x y     

Câu 4 (2,0 điểm).

Cho hình chóp . . S ABC Trên các cạnh , , SA SB SC lần lượt lấy các điểm , , D E F (khác S). Gọi M

là điểm chung của ba mặt phẳng ( ),( ),( ). ABF BCD CAE Đường thẳng SM lần lượt cắt các mặt

phẳng (ABC) và (DEF) tại P và N. Chứng minh rằng 3. . NP MP NS MS 

Câu 5 (5,0 điểm).

Cho hình lăng trụ . ' ' ' ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh bằng 3 ,a cạnh bên bằng 2 ,a hình

chiếu vuông góc của ' A lên mặt phẳng ( ) ABC thuộc cạnh AB và góc giữa mặt phẳng

( ' ') A ACC và đáy bằng arctan 2.

a) Tính theo a thể tích khối lăng trụ . ' ' '. ABC A B C

b) Gọi G là trọng tâm tam giác . ABC Tính sin của góc giữa đường thẳng ' A G và mặt phẳng

( ' '). BCC B

……………. Hết …………….

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Họ và tên thí sinh…………………….………...............Số báo danh..........................

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG TRƯỜNG

(Hướng dẫn chấm này gồm 04 trang)

Câu Nội dung Điểm Câu 1 7,0 điểm

a)(3,0 điểm). Cho hàm số 4 2 2 3 2 y x mx m     với m là tham số. Tìm m để hàm số có giá trị cực tiểu bằng 3. 

Ta có: 3 2

2

0 ' 4 4 4 ( ); ' 0 x y x mx x x m y

x m

         

1,0

TH1: 0, m  từ bảng biến thiên ta có (0) 3 2 CT y y m    0,5

Do đó: 1 3 3 2 3 3 CT y m m     (thoả mãn điều kiện) 0,5

TH2: 0, m  từ bảng biến thiên ta có 2 ( ) 3 2 CT y y m m m      0,5

Do đó: 2 3 13 3 3 1 0 2 CT y m m m       (thoả mãn điều kiện)

0,5

b) (4,0 điểm) Giải hệ phương trình   

2

2 ( 1) 0 (1)

. 2 2 2 4 4 3 5 8 (2)

y x y x

y x x x y

             

Điều kiện xác định: 3. 4 x  Ta có 1 (1) ( )( 1) 0 . y y x y y x         

0,5

Với 1, y  thay vào (2) ta được: 2 2 2 4 4 3 3 x x x      ,

Xét hàm số 2 3 ( ) 2 2 4 4 3, . 4 f x x x x x       Ta có

2 2 1 2 3 ( ) 0, , 4 4 3 2 2 4

x f x x x x x

        

suy ra ( ) f x đồng biến trên 3 [ ; ). 4  Mặt

khác 1 x  là nghiệm của phương trình nên nó là nghiệm duy nhất.

1,0

Với , y x  thay vào (2) ta được    2 2 2 2 4 4 3 5 8. x x x x x       

Vì 2 x  không thoả mãn phương trình nên pt

2 5 8 2 2 4 4 3 2 x x x x x

       

0,5

2 5 8 2 2 4 4 3 0 2 x x x x x

         0,5

Xét hàm số  2 5 8 3 ( ) 2 2 4 4 3 , [ ; ) \ 2 . 2 4 x g x x x x x x

         

Ta có  2 2 2 1 2 2 3 '( ) , ( ; ) \ 2 . ( 2) 4 4 3 2 2 4

x g x x x x x x

         

0,5

Vì  3 '( ) 0, ( ; ) \ 2 4 g x x    nên hàm số đồng biến trên 3 [ ;2) 4 và (2; ) .

Do đó phương trình ( ) 0 g x  có nhiều nhất hai nghiệm.

0,5

Mặt khác 1, 3 x x   là hai nghiệm của ( ) 0 g x  . Vậy phương trình chỉ có hai nghiệm là 1, 3 x x   .

0,5

Câu 2 2,0 điểm

Có tám người ngồi quanh một bàn tròn. Mỗi người có một đồng xu đồng chất. Cả tám người

cùng tung đồng xu của mình. Ai tung được mặt ngửa thì đứng dậy, còn ai tung được mặt sấp