Đề chọn đội tuyển thi HSG QG môn Toán năm 2022 - 2023 sở GDĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2022-2023 Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

BÀI THI THỨ NHẤT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 04 câu

Câu 1 (5,0 điểm). Cho dãy số ( ) n u thỏa mãn

1

* 1

2022

2022, . n n n

u

n u u n nu +

=   +  = + ∀∈  

a) Chứng minh rằng lim . n u = +∞

b) Tìm giới hạn

2 lim . 2 1

nu n +

Câu 2 (5,0 điểm). Cho ( ) P x là đa thức monic bậc n (với * n∈) có đúng n nghiệm thực

phân biệt. Biết rằng tồn tại duy nhất số thực a mà 2 ( 4 2022) 0. P a a + + = Chứng minh

rằng đa thức 2 ( 4 2022) P x x + + chia hết cho đa thức 2 ( 2) x + và (2022) 4 . n P ≥

Câu 3 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC có AB AC = , I là tâm đường tròn nội tiếp và ( ) T

là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Các đường thẳng BI và CI lần lượt cắt ( ) T tại

điểm thứ hai là M và N . Gọi D là điểm thuộc ( ) T , nằm trên cung BC không chứa A;

, E F lần lượt là các giao điểm của AD với BI và CI ; P là giao điểm của DM với CI ;

Q là giao điểm của DN với BI .

a) Chứng minh rằng các điểm , , , D I P Q cùng nằm trên một đường tròn ( ) Ω.

b) Chứng minh rằng các đường thẳng CE và BF cắt nhau tại một điểm trên đường tròn ( ) Ω.

Câu 4 (5,0 điểm). Cho A là tập hợp gồm các số nguyên dương thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau:

a) Nếu a A ∈ thì tất cả các ước số dương của a cũng thuộc ; A

b) Nếu ,a b A ∈ mà 1 a b < < thì 1 . ab A + ∈

Chứng minh rằng nếu A có ít nhất 3 phần tử thì A là tập hợp tất cả các số nguyên dương.

-------------hÕt------------

1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2022-2023

Khóa ngày 20 tháng 9 năm 2022

Môn thi: TOÁN

BÀI THI THỨ NHẤT Đáp án này gồm có 05 trang YÊU CẦU CHUNG (Đáp án, hướng dẫn này có 05 trang)

* Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi bài. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập luận lô gic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi bài, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu hình, nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi bài nói chung phân chia đến 0,5 điểm. Đối với điểm thành phần lớn hơn 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,5 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng bài.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các bài

Câu Nội dung Điểm

Câu 1a

(2,0 điểm)

Ta có 0, 1 n u n > ∀≥. Suy ra * 1 2022 0, . n n n

n u u n nu + + − = > ∀∈ 0,5 điểm

Suy ra ( ) n u là dãy số tăng ngặt. 0,5 điểm Giả sử ( ) n u là dãy số bị chặn trên. Suy ra ( ) n u có giới hạn hữu hạn.

Đặt lim n L u = thì 1 L ≥ (do 1 2022 u = ). Từ 1 2022

n n n

n u u nu + + = + suy

ra 1 1 0 L L L L = + ⇒ = (điều này vô lý).

0,5 điểm

Suy ra ( ) n u là dãy số không bị chặn trên. Do đó lim . n u = +∞ 0,5 điểm

Câu 1b

(3,0 điểm)

Bổ đề: Nếu 1 lim( ) n n u u L + − = thì lim . n u L n = 0,5 điểm

Chứng minh bổ đề: Vì 1 lim( ) n n u u L + − = nên với mọi 0 ε > tồn tại

0 N sao cho với mọi 0 n N ≥ , ta có 1 2 n n u u L ε

+ − − < . Khi đó với mọi

0,5 điểm