Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2021 - 2022 sở GDĐT Lạng Sơn

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022 Môn thi: TOÁN lớp 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

(Đề thi gồm 01 trang, 05 câu) Câu 1 (5,0 điểm).

a) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 3 2 ( 1) ( 1) 1 y x m x m x       có hai

điểm cực trị 1 2 , x x thỏa mãn 1 2

4 3

3 x x   .

b) Cho hàm số 2 2 1 x y x

   có đồ thị  C . Cho d là tiếp tuyến của  C tại điểm   0 0 ; M x y ,

d cắt hai đường tiệm cận của  C lần lượt tại A và B . Tính độ dài , IA IB theo 0x ( I là giao

điểm của hai đường tiệm cận) và tìm bán kính lớn nhất của đường tròn nội tiếp tam giác IAB .

Câu 2 (5,0 điểm).

a) Giải phương trình: 4 1 3 2 4sin 2cos2 sin 4 sin 2 2 2 x x x x     .

b) Giải hệ phương trình sau

3 3 2 9 28 30

. 2 5 2 6

x y y x y

y x x

             Câu 3 (2,0 điểm). Cho 2021 tấm thẻ được đánh số theo thứ tự từ 1 đến 2021 (mỗi tấm thẻ được đánh duy nhất một số và không có hai thẻ nào có số giống nhau). Các tấm thẻ được úp xuống mặt bàn và không nhìn thấy số trên thẻ. Bốc ngẫu nhiên 1 tấm thẻ, tính xác xuất để số ghi trên tấm thẻ

a) Chia hết cho cả 6 và 15. b) Chia hết cho 2, hoặc chia hết cho 3 hoặc chia hết cho 5. Câu 4 (2,0 điểm). Một cửa hàng bán quýt loại I với giá là 50.000 đồng/kg. Với giá bán này thì cửa hàng chỉ bán được khoảng 40kg mỗi ngày. Cửa hàng dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm 5000 đồng/kg thì số quýt bán được tăng thêm là 50kg. Xác định giá bán để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập mỗi kg quýt ban đầu là 30.000 đồng?

Câu 5. (6,0 điểm). Cho tứ diện ABCD với   AB BCD  và 2 2 AB  . Tam giác ACD có ba góc

nhọn, đường cao 2 6 AK  và 5, 7 AC AD   .

a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD .

b) Gọi L là trung điểm của BC . Tính góc tạo bởi đường thẳng KL và mặt phẳng   ACD .

c) Gọi , M N lần lượt là trọng tâm các tam giác , ABC ABD và I là tâm đường tròn nội tiếp

tam giác ACD . Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng   MNI .

---------------------Hết--------------------- Họ và tên thí sinh: ………………………………….......... Số báo danh…………...........

Chữ kí giám thị số 1: …...............………Chữ kí giám thị số 2:…......................………....

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

LẠNG SƠN

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

LỚP 12 NĂM HỌC 2021 - 2022

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN LỚP 12 THPT

(Hướng dẫn chấm gồm 05 trang) Chú ý: Những cách giải khác HDC mà đúng thì cho điểm theo thang điểm đã định. Câu Nội dung Điểm 1a (2,5 đ)     2 3 2 1 1 y x m x m      Để hàm số có hai điểm cực trị 1 2 , x x thì phương trình 0 y phải có 2 nghiệm phân biệt tức

là     2 ' 1 3 1 0 m m     

0,5

2

5 33 2 5 2 0

5 33 2

m m m

m

         

   

0,5

Theo đề bài 1 2

4 3

3 x x   4 3

3 a

  

  2

2 4 5 2 4 3 5 14 0 3 3

m m

m m        

0,5

2 7 m m

    

0,5

Kết hợp với điều kiện, có 2, 7 m m   là các giá trị cần tìm 0,5

1b (2,5 đ)

Đồ thị  C có tiệm cận đứng 1 x , tiệm cận ngang 2 y    1;2 I 

 

2 4 , 1 1 y x x

   

. 0,5

Phương trình tiếp tuyến d của  C tại điểm có hoành độ 0x là

 

2 0 0 2

0 0

2 4 2 4

1 1

x x y x x x

     

, 0 1 x .

Tọa độ điểm 0

0

2 6 1; 1 x A x        

,   0 2 1;2 B x  .

0,5

Khi đó 0 0

8 , 2 1 1 IA IB x x     . 0,5

Tam giác IAB vuông tại I có . 16 IA IB  . Gọi , , p S r lần lượt nửa chu vi, diện tích và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác IAB . Ta có

S r p 

2 2 . IA IB

IA IB IA IB 

  

. 2 . 2 . IA IB IA IB IA IB 



16 2 16 32 



4 2 2   .

0,5

Vậy  4 2 2 Max r   khi 4 IA IB  

0

0

3

1

x

x

    

. 0,5

2a (2,5 đ)

4 1 3 2 4sin 2cos2 sin 4 sin 2 2 2 x x x x     0,5