Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2021 - 2022 sở GDĐT Lào Cai

Trang 1/6 - WordToan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. a/ Cho hàm số 1 3 x y x    có đồ thị  C . Gọi I là giao điểm của của hai đường tiệm cận của  C .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y x m   cắt  C tại hai điểm phân biệt

, M N sao cho tam giác MNI có trọng tâm nằm trên  C .

Lời giải Chọn C Tập xác định  \ 3 D  .

1 1 1 lim lim lim 1 1 3 3 1 x x x x x y y x x

  

        là tiệm cận ngang của đồ thị  C .

3 lim 3 x y x     là tiệm cận đứng của đồ thị  C .

  3; 1 I   là giao điểm của của hai đường tiệm cận của  C .

Phương trình hoành độ giao điểm:    2 1 2 3 1 0 * 3 x x m x m x m x          .

Đường thẳng : d y x m   cắt  C tại hai điểm phân biệt  *  có hai nghiệm phân biệt và khác 3

    2 16 0 ; 8 0; 8 0 m m m

            Đường thẳng : d y x m   cắt  C tại hai điểm phân biệt     1 1 2 2 ; , ; M x x m N x x m   với 1 2 , x x là

nghiệm phương trình  * . , , M N I tạo thành tam giác khi 4 m 

Tam giác MNI có trọng tâm 1 2 1 2 3 2 1 1 ; ; 1 3 3 3 x x x x m m G m                    



2 2 4 1 8 12 0 6 8

m m G C m m m m m

              .

Vậy 2; 6 m m   .

b/ Cho hàm số  y f x  liên tục trên , biết     3 6 2 2 2 8 3 4 , f x x x x x m m x         .

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số   y f x  có 5 điểm cực trị.

   2 2

0

0 2

8 3 4 0 *

x

f x x

g x x x m m

              

Hàm số   y f x  có 5 điểm cực trị đồ thị hàm số  y f x  có hai điểm cực trị nằm bên phải

trục Oy  0 f x    có hai nghiệm bội lẻ

 * PT  có hai nghiệm trái dấu và khác 2 hoặc  * PT có một nghiệm bằng 0 và nghiệm còn lại

dương khác 2 .

Trang 2/6 – Diễn đàn giáo viên Toán

  * PT có hai nghiệm trái dấu và khác 2

   

2

2

3 73 3 16 0 1;4 2 3 4 0 1;4

m m m m m m m

                     

.

  * PT có một nghiệm bằng 0 2 1 3 4 0 4

m m m m

        

Với 2 0 1 8 0 8 0

x m x x x

        . Vậy 1 m .

Với 2 0 4 8 0 8 0

x m x x x

         . Vậy 4 m  .

Vậy   1;4 m .

Câu 2 ( 4,0 điểm )

a) Giải bất phương trình 2.9 3.6 2 6 4

x x

x x    .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 3 2 2 1 log 3 8 1 27 54 9 x x x m x x m        có 2

nghiệm phân biệt thuộc 1 ; 2       

.

Lời giải a) Điều kiện: 6 4 0 x x x    .

Ta có:

3 2. 3 2.9 3.6 2 2 2 6 4 2 1 3

x

x x

x x x

                

. Đặt 3 2

x t      

, điều kiện 0 t  và 1 t .

Bất phương trình đã cho trở thành:

2 2 3 2 5 2 2 0 1 1 1

t t t t t

       

3 2

3 2

1 1 log 0 2 2

0 log 2 1 2

x t

x t

            

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: 3 3 2 2

1 ;log 0;log 2 2 S              

.

b) Điều kiện:

2

1 2 3 6 0

x

x x m

      

2 3 2

2 2 3 3

2 1 log 3 8 1 27 54 9 log (2 1) log (3 6 ) 3 8 1 (*)

x x x m x x m x x x m x x m

               

Đặt   2 3 6 , 2 1 0, 0 u x x m v x u v        .

Khi đó phương trình (*) tương đương: 3 3 log log u u v v   .

Vì hàm số 3 ( ) log y f t t t    đồng biến trên khoảng (0; )  nên