Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2021 sở GDĐT Quảng Ninh

Trang 1/7 - WordToan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO QUẢNG NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022 MÔN THI: TOÁN(BẢNG A) Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

LỜI GIẢI CHI TIẾT Lời giải được thực hiện bởi tập thể quý thầy cô: Trường Giang, Quỳnh Hương, Trần Xuân Thiện, Ký Tống, Đường Ngọc Lan và Anh Tuấn.

Câu 1. a) Cho hàm số     2 2 1 4 4 2 5 7 4 y x x m x m            có đồ thị là   m C , với m là tham số. Cho

đường thẳng : 2 6 d y x   và điểm   3;4 I  . Tìm m để  d cắt   m C tại ba điểm phân biệt

  1;4 A  , B , C sao cho tam giác IBC có diện tích bằng 4 .

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng  d và đồ thị   m C :

    2 2 1 4 4 2 5 7 4 2 6 x x m x m x                   2 2 1 4 4 2 5 7 2 1 0 x x m x m x             

    2 2 1 4 4 2 5 6 0 x x m x m               2 1

4 4 2 5 6 0 *

x

x m x m

         .

Đường thẳng  d cắt đồ thị   m C tại ba điểm phân biệt  *  có hai nghiệm phân biệt khác 1 

   

 

2 2 2 4 5 6 0

4 4 2 5 6 0

m m

m m

                 

    2 ; 1 2; 2 0

2 2

m m m

m m

                  .

Gọi 1x , 2x là nghiệm của phương trình (*).

Theo định lý Viét ta có

1 2

1 2

2

5 6 4

x x m

m x x

      

.

Ta có tọa độ   1 1 ;2 6 B x x  ,   2 2 ;2 6 C x x  . Suy ra     2 1 2 1 ;2 BC x x x x     .

Khi đó     2 2 2 1 2 1 4 BC BC x x x x       .

Theo đề bài diện tích IBC  bằng 4 , nên suy ra

        2 2 2 1 2 1 2 2. 3 4 6 1 1 . .d , 4 . 4 . 2 2 2 1 IBC S BC I BC x x x x           

    2 2 2 1 2 1 1 2 2 5 5 2 4 x x x x x x         

2 2 2 2 5 6 2 2 m m m m         

2 2 6 0 3

m m m m

         .

Vậy 3 m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Một đại lý xăng dầu cần tìm một cái bồn chứa dầu hình trụ có thể tích bằng   3 125 4 m  . Tìm bán

kính đáy cùa bồn chứa dầu sao cho bồn chứa dầu được làm ra tốn ít nguyên vật liệu nhất.

Lời giải b) Gọi bán kính đáy và chiều cao của bồn chứa dầu lần lượt là x , ( ) h m ,   0, 0 x h   .

Ta có: 2 2 2 125 125 4 4 V R h x h h x         .

Để bồn chứa ít tốn nguyên vật liệu nhất thì diện tích toàn phần phải nhỏ nhất.

Trang 2/7 – Diễn đàn giáo viên Toán

Mà 2 2 2 2 125 125 125 125 2 2 2 2 2 2 2 4 4 p S Rh R x x x x x x x                            .

Áp dụng BĐT AM-GM cho 3 số không âm 125 4x , 125 4x và 2 2x , ta được:

2 3 125 125 75 3 2 4 4 2 p S x x x        .

Dấu " =" xảy ra khi và chỉ khi 2 3 125 5 2 8 125 4 2 x x x x      (thỏa mãn).

Vậy để bồn chứa dầu ít tốn nguyên vật liệu thì bán kính đáy bằng 5 ( ) 2 m .

Câu 2. a) Cho hàm số 3 ( ) 3 2 f x x x    và hai số thựca ,b thỏa mãn các điều kiện: 2022 log 2021 1 b a  ;

2021 2022 (log ) 2 (log ) f a f b   . Tính 2022 log ( ) a b  .

b) Cho tam giác ABC có các góc thỏa mãn điều kiện 3 2tan tan 2 3tan C B C    . Chứng minh ∆??? có

một góc tù và tính diện tích hình tròn ngoại tiếp tam giác ABC , biết rằng 6 BC  . Lời giải a) Xét hàm: 3 2 ( ) 3 2 ( ) 3 3 f x x x f x x       . ( ) 0 1 f x x    . Bảng biến thiên

Đặt 2021 2022 log , log u a v b   .

Vì 2022 log 2021 b a  nên 2021 2022 log log 0 0 a b u v      .

Lại có :     2021 2022 log 2 log f a f b   .

Nên     2 f u f v f v f u     với mọi 0 u v   .

Do đó :   , 0;1 u v  . Khi đó từ   1 2 0 u f v f u v       .

Suy ra 2021 a  và 1 b  . Vậy   2022 log 1 a b  . b) Ta có:

3 2tan sin 3cos 2sin tan 2 3tan cos 2cos 3sin 2sin cos 3sin sin 3cos cos 2cos sin 2sin( ) 3cos( )

2sin 3cos .

C B C C B C B C C B C B C B C B C B C B C

A A

              

  Vì sin A > 0 nên cosA < 0 suy ra góc A tù. Ta có :

2 2

2 2 4sin 9cos 0 3 sin 13 sin cos 1

A A A A A

          .

Áp dụng định lý Sin ta có 13 2sin BC R A   .

Vậy diện …