Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm 2021 - 2022 sở GDĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2021 – 2022

ĐỀ THI MÔN: TOÁN – THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề.

Câu 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 25 mx y x m    đồng biến trên khoảng   0;10 .

Lời giải Tập xác định:   \ D m    .

Ta có:

 

2

2 25 m y

x m

 



.

Để hàm số đồng biến trên khoảng   0;10 thì

     

2

5 0, 0;10 5 25 0 10

5 0;10 0;10 0

10

m y x m m m

m m m m

m

                                         

Vậy     ; 10 5; m   là các giá trị cần tìm.

Câu 2. Cho hàm số   3 2 2 1 1 3 y x mx m x     , với m là tham số. Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị , A B sao cho , A B cách đều đường thẳng

: 5 9 d y x   .

Lời giải  Tập xác định D .

 Ta có 2 2 2 1 y x mx m     có   2 2 1 0

1 1 0

y

y

a

m m m





        

suy ra hàm số đã cho luôn có

hai điểm cực trị với mọi m. Cách 1.

 Lấy y chia y ta được   2 1 1 2 1 1 3 3 3 3 y x m y x m m           

.

 Đặt     1 1 2 2 ; , ; A x y B x y là tọa độ hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho, ta có:

    2 2 1 1 2 2 2 1 2 1 1 , 1 3 3 3 3 y x m m y x m m       . Do đó, đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

, A B là   2 2 1 : 1 3 3 y x m m     .

 Vì đường thẳng   2 2 1 : 1 3 3 y x m m     không song song với đường thẳng : 5 9 d y x  

nên , A B cách đều đường thẳng : 5 9 d y x   khi và chỉ khi trung điểm I của đoạn thẳng AB

thuộc đường thẳng : 5x 9 d y  .

 Ta có   2 3 3 1 2 2 1 1 1 , 1 ; 2 3 3 3 3 I I I x x x m y x m m m m I m m m                

.

3 3 3 1 1 ; : 5x 9 5 9 18 27 0 3 3 I m m m d y m m m m m                  

ĐỀCHÍNH THỨC

   2

3 3 3 9 0 3 3 5 2

m m m m

m

            

.

 Vậy

3

3 3 5 2

m

m

      

thỏa yêu cầu bài toán.

Cách 2.

Đồ thị hàm số có điểm uốn 3 1 ; 3 I m m m       

. Để hai điểm cực trị cách đều đường thẳng

: 5 9 d y x   thì I d  hay 3 3 1 5 9 18 27 0 3 m m m m m       

3

3 3 5 2

m

m

       

.

Vậy

3

3 3 5 2

m

m

      

thỏa yêu cầu bài toán.

Câu 3. Giải phương trình     3 1 cos2 sin 2 4cos 8 4 3 1 sin x x x x       .

Lời giải

Ta có     3 1 cos2 sin 2 4cos 8 4 3 1 sin x x x x      

2 2 3sin 2sin cos 4cos 4 3sin 4sin 8 0 x x x x x x            2sin 3 sin cos 2 4 3sin cos 2 0 x x x x x       

2(sin 2)( 3 sin cos 2) 0 x x x     

3sin cos 2 0 x x    

sin( ) 1 2 , 6 3 x x k k         .

Vậy phương trình có nghiệm: 2 , 3 x k k     .

Câu 4. Cho  2 log 1

x f x x        

. Tính 1 2 2019 2020 ... 2021 2021 2021 2021 S f f f f                             

.

Lời giải ĐK: 0 1 x  .

 Ta có    2 2 2 log log log 1 1

x f x x x x           

.

 Xét:

2 2 1 1 2020 log log 2021 2021 2021 f       

.

2 2 2 2 2019 log log 2021 2021 2021 f       

.

2 2 3 3 2018 log log 2021 2021 2021 f       

.

……….