Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2021 - 2022 sở GDĐT Hà Nội

Trang 1/6 - WordToan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2021 – 2022

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 90 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu 1. [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chứng minh rằng với mọi m 2 hàm số ( ) f x =

2

2

1 2 3 x mx x x     có đúng 4

cực trị.

Lời giải

Cách 1. Đặt ( ) g x =

2

2

1 2 3 x mx x x    

 ( ) y g x  ( ). ( )

( ) g x g x y g x

    .

Số điểm cực trị của hàm số ( ) y g x  là số nghiệm của phương trình: ( ). ( ) 0 g x g x   .

Xét 2 ( ) 0 1 0 g x x mx     . Ta thấy 1 0, ( ) 0 ac m g x     luôn có 2 nghiệm bội lẻ (1).

Xét ( ) 0 g x   .

2 2 2 (2 )( 2 3) (2 2)( 1) 0 (2 ) 8 3 2 0 x m x x x x mx m x x m               

Do 2 2

2

2 32 ' 16 (2 )(3 2) 3 4 12 3( ) 0 3 3

m

m m m m m

            

nên '( ) 0 g x  cũng có 2 nghiệm bội lẻ (2).

Từ (1) và (2) ta có hàm số y=

2

2

1 2 3 x mx x x     có đúng 4 điểm cực trị (ĐPCM)

Cách 2. Đặt ( ) g x =

2

2

1 2 3 x mx x x    

 ( ) y g x  ( ). ( )

( ) g x g x y g x

    .

Số điểm cực trị của hàm số ( ) y g x  là số nghiệm của phương trình: ( ). '( ) 0 g x g x 

Xét 2 ( ) 0 1 0 g x x mx     . Ta thấy 1 0, ( ) 0 ac m g x     luôn có 2 nghiệm bội lẻ (1).

Nhận xét: '( ) g x cũng bậc 2, nếu '( ) g x không đổi dấu thì ( ) 0 g x  chỉ có tối đa 1 nghiệm. (loại)

Do đó: '( ) g x phải đổi dấu, tức là '( ) g x phải có 2 nghiệm phân biệt. Vậy hàm số luôn có đúng 4 cực trị.

Câu 2. [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] a) Giải phương trình 1 3 2 2 2 1 x x x x     . Lời giải

Điều kiện:

1 0 1 3 0 1 0 2 2 0 2 1 2 1 0 2

x x x x x x x x

                      

.

 Ta có    

2 2 1 3 2 2 2 1 1 3 2 2 2 1 x x x x x x x x          

     4 1 2 3 1 4 1 2 2 2 2 1 x x x x x x             3 1 2 2 2 1 x x x x     

Trang 2/6 – Diễn đàn giáo viên Toán

2 2 3 3 4 2 2 x x x x        2 1 2 0 2

loại x x x x

       .

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất 2 x  .

Câu 2. [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] b) Giải hệ phương trình

2 2

2 2 5 4 4 1 3 4

25

x x x y y y

x y

           .

Lời giải

Điều kiện: 1 5

0 5

x

y

      .

 Ta có 2 2 2 2 5 4 4 1 3 4 2 1 3 3 4 1 3 4 x x x y y y x x x x y y y             

     2 2 1 3 1 4 1 3 4 * x x x y y y         .

 Xét hàm số 

4 2 3 4 f t t t t    với 0 t  .

Ta có 

3 4 6 4 f t t t     ; 

2 12 6 f t t    .

Khi đó 

2 2 1 2 2 0 12 6 0 4 2 2 0 2 2 2 f t t t t f                      .

Suy ra 

3 4 6 4 0, 0 f t t t t       .

Vậy hàm số 

4 2 3 4 f t t t t    đồng biến với mọi 0 t  .

 Ta có      * 1 1 1 f x f y x y y x        .

Thay 1 y x   vào phương trình 2 2 25 x y   ta được

   

2 2 2 4 3 1 25 12 0 3 loại

x y x x x x x

             .

Kết luận: Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất     ; 4;3 x y  .

Câu 3. [HSG-HÀ NỘI 2021-2022] Chọn ngẫu nhiên một số từ tập các số tự nhiên có 8 chữ số. Tính xác suất để chọn được số chia hết cho 9 và chứa nhiều nhất một chữ số 9.

Lời giải

Số phần tử của không gian mẫu: 

7 9.10 n  .

Gọi biến cố: :" A chọn được số chia hết cho 9 và chứa nhiều nhất một chữ số 9 ".

Gọi số cần lập có dạng:   1 2 3 4 5 6 7 8 1 0 a a a a a a a a a  .

TH1: 9, 1,8 ia i   .

Chọn 1a có 8 cách chọn.

Chọn 2 3 4 5 6 7 a a a a a a có 6 9 cách.

Chọn 8a , có 1 cách chọn.

Vậy có: 6 8.9 số.

TH2: 1 9 a  và các chữ số còn lại khác 9.