Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Cà Mau

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

CÀ MAU

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT

MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2020

Câu 1: (3,0 điểm) Giải các phương trình sau:

a) cos2 5sin 3sin 2 5 3 cos 8 0 x x x x      .

b)  

2 3 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

Câu 2: (3,0 điểm) a) Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của  f x  như sau: x  3  1  1 8   f x   0  0  0  0 

Tìm các điểm cực trị của hàm số    2 2 g x f x x   .

b) Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

2 3 x x y x m    đồng biến trên   1;.

Câu 3: (3,0 điểm)

Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có đỉnh   1;2 A , đường trung tuyến và đường phân

giác trong hạ từ đỉnh B lần lượt có phương trình : 2 3 2 d x y   , 1 :9 3 16 d x y   . Tìm tọa độ

đỉnh C của tam giác ABC .

Câu 4: (3,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, cạnh a . Biết SA SB SC a    .

Đặt   0 3 SD x x a    .

a) Tính số đo góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng   ABCD khi x a  .

b) Tính x theo a sao cho tích . AC SD lớn nhất.

Câu 5: (3,0 điểm)

a. Cho đa giác đều có 24 đỉnh, chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh của   H . Tính xác suất để 4 đỉnh

chọn được tạo thành một hình chữ nhật nhưng không phải là hình vuông.

b. Cho  

13 2 1 4 3 P x x x    . Xác định hệ số của 3x trong khai triển  P x theo lũy thừa của

x . Câu 6: (3,0 điểm)

Cho dãy số   n u được xác định bởi 1 1  u và 2 1 3 2     , n n u u n .

a) Xác định số hạng tổng quát của dãy số   n u .

b) Tính tổng 2 2 2 1 2 2020     ... S u u u .

Câu 7: (2,0 điểm)

Cho hai số thực thay đổi ,x y với 0. x  Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức

2

2 2 2 2 ( 3 )( 12 )

xy P

x y x x y 

  

.

____________________ HẾT ____________________

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Giải các phương trình sau:

a) cos2 5sin 3sin 2 5 3 cos 8 0 x x x x      .

b)  

2 3 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

Lời giải

a) cos2 5sin 3sin 2 5 3 cos 8 0 x x x x        5 sin 3cos 3sin 2 cos2 8 0 x x x x      

1 3 3 1 5 sin cos sin2 cos2 4 0 2 2 2 2 x x x x              

5sin sin 2 4 0 3 6 x x                    

Đặt 2 2 3 6 2 t x x t          .

Phương trình trở thành 5sin sin 2 4 0 2 t t            

.

5sin cos2 4 0 t t    

2 2sin 5sin 3 0 t t    

  sin 1

2 2 3 2 6 sin 2

t

t k x k k t

                

.

b)  

2 3 1 4 2 6 3 x x x x x x       .

Điều kiện: 1 4 x   .

    

     

  



2 3 1 1 1 4 2 6

3 3 2 3 1 1 1 4

3 0 1

1 1 2 2 1 1 1 4

PT x x x x x x

x x x x x x x x

x x

x x

        

         

            



0 1 3

x

x

   

.

Xét phương trình (2): Ta có 1 1 1 1 1 2 1 1 1 4 1 4 1

x

x x x

               

.

Dấu bằng xảy ra khi 1

4

x

x

   

(vô lí). Vậy phương trình (2) vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm 0 x  và 3 x  .

Câu 2:

a) Cho hàm số  y f x  có đạo hàm trên  và có bảng xét dấu của  f x  như sau: