Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Bình Phước

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN – LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Ngày thi: 15/10/2020

Câu 1: (4,0 điểm)

Cho hàm số  1 x m y f x x

   

, (m là tham số thực) có đồ thị   m C .

1. Tìm tất cả các giá trị của m để

  

   1;0 1;0 max min 3 f x f x     .

2. Với 0 m  , tìm tất cả các điểm M trên   0 C sao cho tiếp tuyến tại M với   0 C cắt hai

đường tiệm cận của   0 C tại A và B thỏa mãn IAB  cân, với I là giao điểm của hai đường

tiệm cận.

Câu 2: (6,0 điểm)

1. Giải phương trình: 2cos3 .cos cos4 sin 2 1 2 2 sin 4 x x x x x           

.

2. Giải hệ phương trình :

   

     

2

2

2

2 1 1 1

1 1 5 6 4 9 2 1

x x y x y x x x y x x x y

                    

.

3. Cho tập   1 2 3 4 5  ; ; ; ; T . Gọi H là tập hợp tất cả các số tự nhiên có ít nhất 3 chữ số đôi một

khác nhau thuộc T . Chọn ngẫu nhiên một số thuộc H . Tính xác suất để số được chọn có tổng các chữ số bằng 10.

Câu 3: (3,0 điểm)

Cho hình vuông ABCD có   1;2 A  . Gọi , M N lần lượt là trung điểm BC và CD . Gọi

H là giao điểm của BN và AM . Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác HDN biết phương trình đường thẳng :2 8 0 BN x y    và điểm B có hoành độ lớn hơn 2 .

Câu 4: (4,0 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SAB  là tam giác đều và nằm

trong mặt phẳng vuông góc với   ABCD . Gọi H là trung điểm AB . Tính thể tích khối chóp

. S ABCD và     tan , SH SCD .

Câu 5: (2,0 điểm)

Cho hai đa thức 

3 2     P x ax bx cx b và 

3 2     Q x x cx bx a với 0    a,b,c ,a .

Chứng minh rằng    0     G x P x Q x x thì   a b c.

Câu 6: (2,0 điểm)

Giả sử phương trình 3 2 3 0 x x ax b     ( với ,a b) có 3 nghiệm thực dương. Gọi các

nghiệm này là 1 2 3 , , x x x . Đặt 1 2 3 1 1 1 1 2 3

n n n

n n n n x x x u x x x         , * n .

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: Cho hàm số  1 x m y f x x

   

, (m là tham số thực) có đồ thị   m C .

1. Tìm tất cả các giá trị của m để

  

   1;0 1;0 max min 3 f x f x     .

2. Với 0 m  , tìm tất cả các điểm M trên   0 C sao cho tiếp tuyến tại M với   0 C cắt hai

đường tiệm cận của   0 C tại A và B thỏa mãn IAB  cân, với I là giao điểm của hai đường

tiệm cận.

Lời giải

1. Có   

2 1

1

m f x

x

  



.

+ Với   

  

   1;0 1;0 1 1 1;0 max min 2 m f x x f x f x        (không thỏa mãn).

+ Với 1 m , hàm số  f x đơn điệu trên   1;0  , do đó:

  

   1;0 1;0 max min 3 f x f x        1 0 3 f f     1 5 3 2 3 m m m       .

Vậy 5 3 m  thỏa mãn yêu cầu bài toán.

2. Với 0 m   1 x f x x   

có đồ thị   0 C . Tọa độ giao điểm hai đường tiệm cận của

  0 C là   1;1 I .

Gọi 0 0

0 ; 1 x M x x       

, 0 1 x .

Có   

2 1

1 f x

x  



.

Phương trình tiếp tuyến của   0 C tại M có dạng

  

0 0 2

0 0

1

1 1

x y x x x x     

.

Tiếp tuyến tại M cắt đường tiệm cận đứng tại 0

0

1 1; 1 x A x        

, cắt đường tiệm cận ngang tại

  0 2 1;1 B x  .

Có

0

2

1 IA x  

, 0 2 1 IB x   .

Tam giác IAB là tam giác vuông tại I , do đó tam giác IAB cân khi và chỉ khi IA IB  .

  

2 0 0 0

0 0

0 2 2 1 1 1 2 1

x x x x x

          

   

0;0

2;2

M

M

 



.

Vậy   0;0 M hoặc   2;2 M .

Câu 2: