Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Kon Tum

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KON TUM

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Câu 1. (2,5 điểm) Cho hàm số 

4 2 2 2 1 f x x mx m    . Tìm m để đồ thị hàm số  f x có ba điểm

cực trị và ba điểm đó cùng gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn.

Câu 2. (4,0 điểm) 1. Giải phương trình sin3 3 cos3 1 0 cos

x x

x

  với   ;0 . x  

2. Giải phương trình    



3 1 4 5 1

. 2 2 4 4 3 2 2 1 2

x x y y y

x y x y y

     

       

Câu 3. (5,0 điểm) 1. Một nhóm gồm 9 học sinh một lớp trong đó có ba bạn Việt, Nam và Hùng đi dự đại hội Đoàn trường, ban tổ chức sắp xếp ngẫu nhiên 9 học sinh này ngồi vào một dãy ghế được đánh số từ 1 đến 9. Tính xác suất để số ghế của bạn Hùng bằng trung bình cộng số ghế của hai bạn Việt và Nam.

2. Cho dãy số   n u thỏa    

1

2 2

1

2020

5 5 2 6 2 , 1,2,3... n n

u

n n u n n u n 

        

.

Tính 2 2 lim

n

n u n      

.

Câu 4. (6,0 điểm) Cho tứ diện ABCD có , , BC AD a AC BD b AB CD c       .

1. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và CD theo , , a b c .

2. Biết mặt phẳng   ABC vuông góc với mặt phẳng   ABD . Chứng minh rằng

cos .cos cos A B C  ; với , , A B C là ký hiệu ba góc tương ứng với các đỉnh , , A B C của tam giác

ABC . 3. Gọi S là diện tích toàn phần của tứ diện ABCD . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2 2 2 2 S S S a b b c c a   .

Câu 5. (2,5 điểm) Cho các số thực dương a,b,c thỏa mãn 2 2 2 3    a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biều thức  

2 2 2 2 2 2 2 1 2          a b c P a b c c ab a b c

.

------------------------- HẾT -------------------------

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: Cho hàm số 

4 2 2 2 1 f x x mx m    . Tìm m để đồ thị hàm số  f x có ba điểm cực trị và

ba điểm đó cùng gốc tọa độ O lập thành tứ giác nội tiếp đường tròn.

Lời giải 

3 4 4 f x x mx      2 4x x m   

  2 4 0 x x m    2

0 x

x m

    

.

Để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị thì : 0 m  . Ba điểm cực trị là   2 0; 1 A m   ;   ; 1 B m  ;   ; 1 C m   .

  2 ; BA m m   

;   ;1 BO m  

.

Để ba điểm A , B ,C và gốc tọa độ   0;0 O tạo thành tứ giác nội tiếp khi và chỉ khi



180 B C   



90 B    (do   B C  ).

. 0 BA BO    2 0 m m    0 1 m m

    

.

Vậy 1 m .

Câu 2.1: Giải phương trình sin3 3cos3 1 0 cos x x x   với   ;0 . x  

Lời giải Trường hợp 1: sin3 0 x  .

sin3 3 cos3 1 0 cos 2

sin3 3 cos3 1

1 sin3 3 cos3 1 2

2 6 3 sin 3 sin 2 3 6

18 3

x x x k x

x x

x x

x k x

x k

 

   

 

          

  

  

                

Theo đề bài   ;0 x   và

2 x k     nên 13 ; 8 18 x          

.

Trường hợp 2: sin3 0 x 

sin3 3 cos3 1 0 cos 2

sin3 3cos3 1

1 sin3 3cos3 1 2

2 2 6 3 sin 3 sin 2 3 6

18 3

x x x k x

x x

x x

x k x

x k

 

   

 

           

  

  

                