Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2020 - 2021 sở GDĐT Bình Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

TOANMATH.com

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN – LỚP 12 NĂM HỌC 2020 - 2021 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Đề thi gồm 01 trang + 05 bài toán tự luận Bài 1. (6,0 điểm)

a. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 11 9 y x x    trên đoạn   0;4 .

b. Cho hàm số đa thức ( ) y f x  có đồ thị như sau: Tìm số điểm cực trị của hàm số   2 2 2 . y f x x   

Bài 2. (5,0 điểm) Xét dãy số   n u thỏa 1 , u a b   * 1 1 , ; n

n

ab u u n u    trong đó ,a b là hai số thực

dương.

a. Chứng minh   n u là dãy số giảm khi ; a b 

b. Tính lim . n u

Bài 3. (3,0 điểm) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hệ phương trình

2

1

3 0

x xy

x y m

      

có ba

nghiệm phân biệt. Bài 4. (2,0 điểm) Cho hai số nguyên dương k và n sao cho . k n  Xét tất cả các tập hợp con gồm k phần tử của tập hợp   1,2,..., . n Trong mỗi tập hợp con ta chọn ra phần tử nhỏ nhất. Chứng minh

tổng tất cả các phần tử được chọn bằng 1 1. k n C 



Bài 5. (4,0 điểm) Cho đường tròn  O có đường kính AB cố định, M là điểm di động trên  O sao cho

M khác với các điểm , A B và OM không vuông góc với . AB Các tiếp tuyến của  O tại A và

M cắt nhau tại . C Gọi  I là đường tròn đi qua M và tiếp xúc với đường thẳng AC tại . C

Đường thẳng OC cắt lại  I tại điểm thứ hai là . E

a. Chứng minh E là trung điểm của ; OC

b. Gọi CD là đường kính của . I Chứng minh đường thẳng qua D và vuông góc với BC luôn

đi qua một điểm cố định khi M di động trên . O

____________________ HẾT ____________________

x

y

O 1 

1

2

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số  

2 11 9 y x x    trên đoạn   0;4 .

b) Cho hàm số đa thức  y f x  có đồ thị như sau:

Tìm số điểm cực trị của hàm số   2 2 2 y f x x    .

Lời giải

a) Hàm số đã cho liên tục trên đoạn   0;4 .

Ta có

2

2 2 11 9

9

x x y

x

  



,

 

 

1 TM 0 9 KTM 2

x y

x

     

.

Ta có    0 33, 1 10 10, 4 35 y y y    .

Vậy

    0;4 0;4 min 35,max 10 10 y y   .

b) Đặt    2 2 2 g x f x x    . Ta có      2 2 1 2 2 g x x f x x       .

Gọi 1 2 3 , , x x x x x x    (với 1 2 3 x x x   ) là các điểm cực trị của hàm số  f x .

Từ đồ thị, ta có       1 2 3 1;0 , 0;1 , 1;2 x x x    .

Ta có   







2 2

1 1

2 2 2

2 2

2 2 3 3

1 1

2 2 0 1 1 0 2 2 0 2 2 0 2 2 0 2 2 2

2 2 2 2 0 3

x x

x x x x x x x g x f x x x x x x x x

x x x x x x

   

                                  

          

.

Xét phương trình (1), ta có   1 1 1 2 1 0 x x      nên phương trình (1) vô nghiệm.

Xét phương trình (2), ta có 2 1 0 x    nên phương trình (2) vô nghiệm.

Xét phương trình (3), ta có 3 1 0 x    nên phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt khác 1.

Như vậy phương trình  0 g x   có ba nghiệm đơn nên hàm số  g x có ba điểm cực trị.

Câu 2. Xét dãy số   n u thỏa * 1 1 1 , , n

n

ab u a b u u n u      ; trong đó ,a b là hai số thực dương.

a) Chứng minh   n u là dãy số giảm khi a b  .

b) Tính lim n u .

Lời giải