Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Quảng Bình

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021

Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020

Môn thi: TOÁN

SỐ BÁO DANH:……………

LỚP 12 THPT Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Đề gồm có 01 trang và 05 câu.

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Cho hàm số 2 1 x y x

   có đồ thị ( ) C . Gọi , A B là các giao điểm của ( ) C với các trục tọa

độ. Tìm trên ( ) C các điểm M có tọa độ nguyên sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 8 (đvdt).

b. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số 2 1 1 sin3 os sinx 12 4 y x c x m     bằng 1.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Cho dãy số   nu thỏa mãn 19 3

1 1 19 log log log log 3 3 u u u u      và 1 2, n n u u   

với mọi *. n  Tìm n sao cho 2020 4 . ( 2) n u 

b. Cho  2020 2020 2020

x

x f x 

 . Tính tổng 1 2 2020 . 2021 2021 2021 S f f f                     

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Cho đa giác đều 1 2 2020 A A ...A nội tiếp đường tròn (O), chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của

đa giác đó. Tính xác suất để nhận được một tam giác tù.

b. Chứng minh rằng         2 2 2 2 1 2 3 2020 2 2019 2020 2020 2020 2020 4038 2 3 ... 2020 2020 . C C C C C     

Câu 4 (3,0 điểm).

Cho tứ diện ABCD và hai điểm M, N lần lượt thuộc các cạnh , AB AC sao cho

2 , AM BM  2 . CN AN  Mặt phẳng  P đi qua hai điểm M, N và song song với cạnh , AD cắt

các cạnh BD và CD lần lượt tại K và . L a. Gọi V là thể tích của khối tứ diện ABCD . Tính thể tích khối đa diện BCMNLK theo . V

b. Giả sử tứ diện ABCD có   0 3 , BC x x    tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tìm x để

thể tích khối tứ diện ABCD đạt giá trị lớn nhất.

Câu 5 (1,0 điểm).

Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương n lớn hơn 1, ta luôn có

2 . 1 1 1 1 1 ln ....... log 2 2 3 2 n n n       

-------------HẾT-------------

Đáp án Toán 12 năm học 2020-2021 Trang 1

SỞ GD&ĐT QUẢNG BÌNH HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HSG TỈNH NĂM HỌC 2020-2021 Khóa ngày 08 tháng 12 năm 2020 Môn thi: TOÁN

LỚP 12 THPT Đáp án này gồm có 06 trang

YÊU CẦU CHUNG * Đáp án chỉ trình bày một lời giải cho mỗi câu. Trong bài làm của học sinh yêu cầu phải lập

luận lôgic chặt chẽ, đầy đủ, chi tiết và rõ ràng.

* Trong mỗi câu, nếu học sinh giải sai ở bước giải trước thì cho điểm 0 đối với những bước giải sau có liên quan. Ở câu 4 nếu học sinh không vẽ hình hoặc vẽ hình sai thì cho điểm 0.

* Điểm thành phần của mỗi câu nói chung phân chia đến 0,25 điểm. Đối với điểm thành phần

là 0,5 điểm thì tuỳ tổ giám khảo thống nhất để chiết thành từng 0,25 điểm.

* Học sinh có lời giải khác đáp án (nếu đúng) vẫn cho điểm tối đa tuỳ theo mức điểm của từng

câu.

* Điểm của toàn bài là tổng (không làm tròn số) của điểm tất cả các câu.

Câu Nội dung

1

a. Cho hàm số 2 1 x y x

   có đồ thị ( ) C . Gọi , A B là các giao điểm của

( ) C với các trục tọa độ. Tìm trên ( ) C các điểm M có tọa độ nguyên sao cho tam giác MAB có diện tích bằng 8 (đvdt).

b. Tìm m để giá trị lớn nhất của hàm số

2 1 1 sin3 os sinx 12 4 y x c x m     bằng 1.

2,0 điểm

1a

Giao điểm của ( ) C với trục hoành là A(-2; 0), với trục tung là B(0; -2)

Phương trình đường thẳng AB là 2 0, AB 2 2. x y     0,25

Gọi 0 0

0

2 ; ) 1 M(x x

x





với 0 1 x . Ta có

0

2 0

0 0 0

0

2 2 2 1

2 2 1 d(M; AB) =

x x x x x

x

     



0,25

2 0 0

0

2 1 1 8 . . d(M, AB) = 8 .2 2. 8 2 2 2 1 SMAB

x x AB

x

     

0,25

0

2

0 0 0 2

0 0 0 2

0 0 0

0

2

4 6 8 0 2 8 1

5 33 10 8 0

5 33

x

x x x x x x

x x x

x



        

   



        

Vậy có hai điểm M thỏa mãn bài ra là (2; 4), M(4; 2). M

0,25

1b

3 3 2 2 3sin 4sin sinx sin 1 sin sin 1 12 4 3 x x x y x m x m          0.25