Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán THPT năm 2020 - 2021 sở GDĐT Khánh Hòa

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI - SỞ KHÁNH HÒA

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán 12

HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/1916660125164699

Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải các phương trình 1) 3 2 1 1. x x    2) 3sin 4 cos4 4sin 2 1. x x x    b) Một bài thi Đánh giá năng lực theo hình thức trắc nghiệm có 100 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng và 3 phương án sai. Với mỗi câu hỏi, người làm bài thi chỉ được chọn một phương án, nếu chọn đúng được 1,0 điểm, chọn sai bị trừ 0,25 điểm. Một học sinh làm bài đủ 100 câu bằng cách: với mỗi câu hỏi, học sinh đó chọn ngẫu nhiên một phương án. Tính xác suất để học sinh đó được 60 điểm.

Câu 2. (4,0 điểm) Cho hàm số 3 2 2 2 3 y x mx m    có đồ thị   m C và đường thẳng   2 2 y x m  

(m là tham số)

a) Tìm tất cả các giá trị của m để   m C cắt   tại 3 điểm phân biệt , , A B C sao cho B là

trung điểm của AC .

b) Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của   m C cắt đường tròn

 C có phương trình     2 2 1 1 4 x y     tại 2 điểm , : 2 3 E F EF  .

Câu 3. (4,0 điểm) Cho hàm số  y f x  xác định và liên tục trên . Hàm số  y f x   có đồ thị như

hình dưới .

a. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số  y f x 

b. xét chiều biến thiên của hàm số   

2 2 1 4 4 g x f x x x     trên các khoảng   ; 2  và

  1;

Câu 4. (4,0 điểm) a) Cho hình chóp .S ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh 2a. Hình chiếu của S lên   ABC là điểm H thuộc cạnh AC sao cho 2 HA HC  , góc tạo bởi SB và mặt phẳng

  ABC bằng 0 30 . Tính thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ A đến   SBC theo a

.

b) Cho khối lăng trụ tam giác . ABC A B C  có thể tích là V . Gọi I và K lần lượt là trung điểm của AC và A B ; G là trọng tâm của tam giác BCC. Tính thể tích của khối tứ diện BIKG theo V

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

Câu 5. (2,0 điểm) Cho các số , 0 x y  thỏa mãn      2 2 1 2 2 1 xy xy x y x y xy        . Tính giá

trị lớn nhất của biểu thức xy P x y   .

------------------------HẾT------------------------

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1. (6,0 điểm) a) Giải các phương trình 1) 3 2 1 1 x x   . 2) 3sin 4 cos4 4sin 2 1 x x x   . b) Một bài thi Đánh giá năng lực theo hình thức trắc nghiệm có 100 câu hỏi. Mỗi câu hỏi có 4 phương án trả lời, trong đó có 1 phương án đúng và 3 phương án sai. Với mỗi câu hỏi, người làm bài thi chỉ được chọn một phương án, nếu chọn đúng được 1,0 điểm, chọn sai bị trừ 0,25 điểm. Một học sinh làm bài đủ 100 câu bằng cách: với mỗi câu hỏi, học sinh đó chọn ngẫu nhiên một phương án. Tính xác suất để học sinh đó được 60 điểm.

Lời giải

GVSB: Nguyễn Minh Thành ; GVPB: Vân Vũ a) Giải các phương trình 1) 3 2 1 1 x x   .  Điều kiện: 1. x   Đặt   1 0 , t x t    khi đó 2 1 x t  .

 Phương trình trở thành  

3 2 2 3 2 1 1 1 1 0 t t t t      .

    

2 3 3 3 3 1 1 1 0 1 1 1 0 t t t t t t                .

   

3

2 2 3 3

1 1 0 1

0 1 1 1 1 3

t t t

t t t t t t

                       

thỏa mãn điều kiện 0 t  .

 Với 1 1 1 2 t x x    (thỏa mãn).

 Với 0 1 0 1 t x x      (thỏa mãn).

 Với 3 1 3 10 t x x      (thỏa mãn).  Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là   1;2;10 S  .

2) 3sin 4 cos4 4sin 2 1 x x x   .  Phương trình đã cho tương đương

  2 2 3 sin 2 cos2 1 2sin 2 4sin 2 1 2sin 2 3 cos 2 sin 2 2 0 x x x x x x x       .

sin 2 0 , 2 cos 2 1 , 6 12

k x x k

x x k k



  

                          





.

 Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là ; , , 2 12 k S k k k             …