Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Thừa Thiên Huế

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 1

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI – THỪA THIÊN HUẾ

NĂM HỌC 2020 – 2021

Môn: Toán 12

HỌC HỎI - CHIA SẺ KIẾN THỨC Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) LINK NHÓM: https://www.facebook.com/groups/1916660125164699 Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số 3 2 ( ) 3 3 y f x x x mx = = + + − (1) có đồ thị ( ) m C , m là tham số. a) Tìm giá trị của m để hàm số ( ) y f x = (1) có hai điểm cực trị âm.

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y x m = − cắt đồ thị ( ) m C tại ba điểm

phân biệt có hoành độ lần lượt là 1x , 2x , 3x sao cho biểu thức

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 7 T x x x x x x = + + + − đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình lượng giác

( )

2 2

2 sin cos 2sin 2 sin sin 3 1 cot 2 4 4 π π + −       = − − −       +      

x x x x x x

2. Giải phương trình ( ) 2

2 4 1 1 4 1 . 1 3 2 1

x x x x x x x

+ +   − =     + + + + +  

Câu 3. (4,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình: ( )

( )

3

2 9 3 1 1

9 7 3 6 8 2

y y x x

y x

 + = −  + + + = 

.

2. Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau được lập từ các chữ số

0,1,2,3,4,5 . Chọn ngẫu nhiên một số từ tập S . Tính xác suất để số được chọn là một số chẵn. Câu 4. (3,0 điểm)

Cho phương trình ( ) ( ) 2 3 16 4 2 4 3 8 0 x x m m m + − − + − = ( ) 1 , m là tham số thực.

a) Giải phương trình khi 3 m = . b) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình ( ) 1 có hai nghiệm trái dấu.

Câu 5. (3,0 điểm)

Cho hình chóp . S ABCD có cạnh SA x = , tất cả các cạnh còn lại có độ dài bằng 1. Gọi H là hình chiếu của S lên mặt phẳng đáy ABCD .

a) Chứng minh rằng SA SC ⊥ . b) Tính diện tích đáy ABCD theo x của hình chóp . S ABCD . c) Xác định x để khối chóp . S ABCD có thể tích lớn nhất. Tính giá trị thể tích lớn nhất đó.

Câu 6. (3,0 điểm)

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

Trang 2 TÀI LIỆU ÔN THU THPT QUỐC GIA

Cho 2 2 2 2 1 x y xy + − = . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức ( ) 4 4 2 2 , 4 2 2018 f x y x y x y = + − + .

------------------------HẾT------------------------

NHÓM TOÁN VDC&HSG THPT ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI 2020 - 2021

TÀI LIỆU ÔN THI HỌC SINH GIỎI Trang 3

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1. (4,0 điểm) Cho hàm số ( ) 3 2 3 3 y f x x mx x = = + + − ( ) 1 có đồ thị ( ) m C , m là tham số.

a) Tìm giá trị của m để hàm số ( ) y f x = ( ) 1 có hai điểm cực trị âm.

b) Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng : d y x m = − cắt đồ thị ( ) m C tại ba điểm

phân biệt có hoành độ lần lượt là 1x , 2x , 3x sao cho biểu thức

2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 4 7 T x x x x x x = + + + − đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải a)  Ta có: ( ) 2 3 6 f x x m x ′ = + +

 Để hàm số ( ) y f x = có hai điểm cực trị âm thì phương trình ( ) 0 f x ′ = có hai nghiệm âm

phân biệt 2 3 6 0 x x m ⇔ + + = có hai nghiệm âm phân biệt

' 0 9 3 0

0 2 0 0 3.

0 0

m

S m

P m

∆> − >

⇔ < ⇔ −< ⇔ < <

> >

         

b) Xét phương trình hoành độ giao điểm:

( ) 3 2 3 2 3 3 3 1 3 0 x x mx x m x x x m m + + −= − ⇔ + − − −+ = .

( ) 2 1

2 3 0 *

x

x x m

= −  ⇔ + − + = 

.

 Để đường thẳng : d y x m = − cắt đồ thị ( ) m C tại ba điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là

1x , 2x , 3x thì phương trình ( ) * có hai nghiệm phân biệt khác 1 −. Điều này tương đương với:

1 3 4 0 4 4 1 2 3 0 4

m m m m m m

′ ∆= + − = − > <   ⇔ ⇔ <   − − + ≠ ≠  

.

 Khi đó: 1 1 x = −; 2 3 2 x x + = −; 2 3 3 x x m = −+ .

( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 3 1 2 3 2 3 2 3 2 3 4 7 1 2 4 7 T x x x x x x x x x x x x = + + + − = + + − + −

( ) ( ) ( )

2 2 2 2 13 9 9 1 2 2 3 4 3 7 4 26 40 4 4 4 4 m m m m m   = + − − − + − − = − + = − − ≥−    

.

 Vậy min 9 4 T = − khi 13 4 m = ( thỏa mãn điều kiện của m ).

Câu 2. (4,0 điểm)

1. Giải phương trình lượng giác

( )

2 2

2 sin cos 2sin 2 sin sin 3 1 cot 2 4 4 π π + −       = − − −       +      

x x x x x x

2. Giải phương trình ( ) 2

2 4 1 1 4 1 . 1 3 2 1

x x x x x x x

+ +   − =     …