Đề chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Gia Lai (Bảng B)

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

GIA LAI

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH

MÔN TOÁN 12 NĂM HỌC 2020-2021 (Thời gian làm bài 180 phút)

Câu 1: (4 điểm) Cho hàm số     3 2 2 1 1 y x m x m x      ( m là tham số thực) có đồ thị  C .

Tìm m để đường thẳng : d y x m   cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt A , B và C

sao cho tổng hệ số góc của ba tiếp tuyến với  C tại các điểm A , B và C nhỏ hơn 9.

Câu 2: (4 điểm) a/ Giải phương trình sau trên tập số thực:   2 2 5 10 4 1 2 2      x x x x x .

b/ Cho 3 số thực 1 1 1    , , x y z thỏa mãn:

   2 2 2 4 12 5 16 27 2         log log xy yz zx x y z xy yz zx . Tính    M x y z .

Câu 3. (2 điểm) Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển

 

4 1 1 1 1 1

n

x x x x x x

             

, với 0 x  và * n thỏa mãn 2 2 55 0 n n A nC n    .

Câu 4. (2,0 điểm) Cho tam giác ABC thõa mãn

2019sin 2020sin 2021sin 2022cos( ) 2020cos( ) 2018cos( ) (1) 2 2 2 A B C A B C      . Chứng

minh rằng tam giác ABC đều.

Câu 5: (3 điểm) Cho dãy số   n u thỏa mãn: 1 2021 u  và 2 * 1 1, n n n u u u n    , đặt

1 2

1 1 1

n

n v u u u      . Tính lim nv .

Câu 6: (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC cân tại A . Gọi H là trung

điểm của đoạn BC , K là hình chiếu vuông góc của H lên AC . Biết 7 5 ; 4 4 M      

là trung điểm

của đoạn HK , đường thẳng : 7 13 0 BK x y    . Gọi N là giao điểm của BK và AM . Tìm

tọa độ điểm A , biết 1 5 ; 2 2 I      

là trung điểm của đoạn AB .

Câu 7: (2 điểm) Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng .a Gọi H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống mặt phẳng   BCD và O là trung điểm của đoạn . AH Gọi   là mặt phẳng qua O và

không đi qua các điểm , , A B C và . D Mặt phẳng   cắt các đoạn , AB AC và AD lần lượt tại

, M N và . P Tìm giá trị nhỏ nhất của . . AM AN AP theo .a

Câu 8: (2 điểm) Cho hàm số    2 ln 1 2021 f x x x x     , gọi , , a b c là các số thực dương sao cho

phương trình     2020 3 0 f a b c x f x          vô nghiệm.

Tìm GTNN của biểu thức a b M a ac

c b bc      .

HẾT

2

HƯỚNG DẪN GIẢI Câu 1: (4 điểm)

Cho hàm số     3 2 2 1 1 y x m x m x      ( m là tham số thực) có đồ thị  C . Tìm m để

đường thẳng : d y x m   cắt đồ thị  C tại ba điểm phân biệt A , B và C sao cho tổng

hệ số góc của ba tiếp tuyến với  C tại các điểm A, B và C nhỏ hơn 9.

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của d và  C :

    3 2 2 1 1 x m x m x x m         3 2 2 1 0 x m x mx m          2 1 2 0 x x mx m     

 2

1

2 0 *

x

x mx m

      

Theo yêu cầu bài toán :  * phải có hai nghiệm phân biệt khác 1 .

2 0

1 2 0

m m

m m

      

0, 1 1 3

m m

m

     

Ta có   1; 1 A m  ;   1 1 ; B x x m  ;   2 2 ; C x x m 

  2 ' 3 2 2 1 1 y x m x m    

       2 ' 1 3 1 2 2 1 1 1 y m m        2 3m  

    2 1 1 1 ' 3 2 2 1 1 y x x m x m    

    2 2 2 2 ' 3 2 2 1 1 y x x m x m    

Áp dụng định lí Viet ta có :

1 2

1 2

2 x x m

x x m

     

Theo yêu cầu bài toán ta có

     1 2 ' 1 ' ' 9 y y x y x         2 2 1 1 2 2 2 3 3 2 2 1 1 3 2 2 1 1 9 m x m x m x m x m           

     2 2 1 2 1 2 3 2 2 1 5 0 x x m x x m        

     2 1 2 1 2 1 2 3 6 2 2 1 5 0 x x x x m x x m        

    2 3 2 6 2 2 1 .2 5 0 m m m m m      

2 2 12 6 8 4 5 0 m m m m m       2 4 3 5 0 m m     3 89 8 m    , 3 89 8 m  

Giao với điều kiện ta được : 3 89 8 m   , 3 89 8 m   .

Câu 2: (4 điểm)

a/ Giải phương trình sau trên tập số thực:   2 2 5 10 4 1 2 2      x x x x x .

b/ Cho 3 số thực 1 1 1    , , x y z thỏa mãn:

   2 2 2 4 12 5 16 27 2         log log xy yz zx x y z xy yz zx . Tính    M x y z .

Lời giải

a) Giải phương trình:    2 2 5 10 4 1 2 2 1      x x x x x