Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 sở GDĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2020

Môn thi : TOÁN – Bảng A

Ngày thi : 01/12/2020 Thời gian làm bài : 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi này có 01 trang)

Câu 1. (5 điểm)

a) Cho hàm số

2x y x m = + (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số

đồng biến trên khoảng ( ; 2). −∞−

b) Cho hàm số

3 2 2 2 4 (1) 3 x y x x x x + = + + + . Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm cận

ngang của đồ thị hàm số (1) . Câu 2. (3 điểm) Lớp 12B lập Kế hoạch tiết kiệm 5 triệu đồng tiền tiêu vặt trong 5 tháng để ủng hộ đồng bào bị thiên tai như sau: Vào các ngày mùng 1 của các tháng 1, 2, 3, 4, 5 của năm 2021 mỗi học sinh trong lớp tiết kiệm số tiền giống nhau là A đồng và nộp lại cho lớp trưởng để lớp trưởng gửi vào ngân hàng theo hình thức lãi kép (lãi nhập vào gốc để tính lãi ở tháng tiếp theo) với lãi suất ( 0) r r > trên một tháng (lãi suất không đổi trong suốt thời gian gửi). Hãy

xây dựng công thức tính A theo r biết rằng lớp có 40 học sinh và ngày rút tiền ủng hộ là ngày 01/6/2021 (chỉ rút duy nhất một lần). Câu 3. (3 điểm) Cho tam giác ABC thỏa mãn sin 2sin 3sin A B C + = và 2 cos AC BC C = . Tính tỷ số R

r với R và r lần lượt là bán kính đường tròn ngoại tiếp và bán kính đường tròn nội tiếp tam

giác IAB với I là trung điểm AC . Câu 4. (5 điểm)

a) Cho lăng trụ tam giác . ' ' ' ABC A B C , biết hình chóp '. A ABC là hình chóp tam giác đều cạnh đáy bằng a , ( ' ) ( ' ') A BC AB C ⊥ . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ABC A B C theo a . b) Cho hình chóp .S ABCD có đáy là hình chữ nhật với 2 , AB a BC a = = , tam giác SAB

vuông đỉnh A , tam giác SBC vuông đỉnh C , ( ;( )) 2 d A SBC a = . Tính khoảng cách giữa SB và AC theo a .

Câu 5. (2 điểm) Cho hệ phương trình

3 3

2 2

( 2) 8 2 2 0

log ( 1) log 1 0

x y y x

m x y

 − + + + − =  + − + = 

(m là tham số; ,x y ∈).

Tìm giá trị thực lớn nhất của m để hệ phương trình có nghiệm ( ; ) x y với 0, 0 x y > > .

Câu 6. (2 điểm). Tìm số nghiệm thực của bất phương trình 3 2 2 ( 2) 2 log 1 0. x x x x x + − + − ≥

------------------------- Hết --------------------------

- Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Giám thị không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . Chữ ký của giám 1:…… . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Chữ ký của giám thị 2: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. .

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH THPT NĂM 2020

Môn thi: Toán - Bảng A

Ngày thi: 01/12/2020 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Hướng dẫn chấm này có 05 trang)

Câu Ý Nội dung Điểm

1

a

Cho hàm số

2x y x m = + (m là tham số). Tìm tất cả các giá trị thực của m để

hàm số đồng biến trên khoảng ( ; 2). −∞−

2,5

TXĐ: { } \ D R m = − nên để hàm số xác định trên

( ; 2) m 2 m 2 (1) −∞− ⇔− ≥− ⇔ ≤ ;

0,5

2

2 2 ' ( ) x mx y x m + = + 0,5

2

2 2 ' ( ) x mx y x m + = + Để hs đồng biến trên ( ; 2) −∞− ⇔ ' 0, 2 y x ≥ ∀< − 0,5

2 2 0, 2 2 , 2 x mx x x m x ⇔ + ≥ ∀< −⇔ ≤− ∀< − 0,5

2 2 1 m m ⇔−≤− ⇔ ≤ kết hợp (1) suy ra 1 m ≤ 0,5

b

Cho hàm số

3 2 2 2 4 3 x y x x x x + = + + + . Tìm các đường tiệm cận đứng và tiệm

cận ngang của đồ thị hàm số đó.

2,5

Tập xác định: ] D ( ; 4 (0; ) = −∞− ∪ +∞ 0,5

lim x y →+∞ = +∞ ( học sinh không cần lý giải) 0,5

3 2 2 2 2 2 2 4 3 2 lim lim ( 4 ) ( ) lim 3 3 4 x x x x x x y x x x x x x x x x x x →−∞ →−∞ →−∞     + − + = + + + − = +     + + + −    

0,5

2 2 3 4 lim 5 3 4 1 1 1

x x

x x

→−∞

  −+     = + = −   + − + −    

suy ra 5 y = − là tiệm cận ngang 0,5

0 lim x y + → = +∞( học sinh không cần lý giải) suy ra 0 x = là tiệm cận đứng

Vậy ĐTHS có tiệm cận ngang là 5 y = −và tiệm cận đứng là 0 x = .

0,5

2

Lớp 12B tiết kiệm 5 triệu đồng …