Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2020 - 2021 sở GDĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1.(2,5 điểm) Cho hàm số 2 1 1 x y x − + = + có đồ thị là đường cong ( ) C và đường thẳng : 2 d y x m = + .

Tìm m để d cắt ( ) C tại hai điểm , A B sao cho diện tích tam giác OAB bằng 7 (với O là gốc tọa độ).

Câu 2. (2,5 điểm) Một hộp đựng 20 tấm thẻ được đánh số liên tiếp từ 1 đến 20 . Một người rút ngẫu nhiên cùng lúc 3 tấm thẻ. Tính xác suất để bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị.

Câu 3. (2,5 điểm) Cho hàm số bậc ba ( ) 3 2 f x x ax bx c = + + + với , , a b c R ∈ , biết 4 2 8 a c b + > +

và 2 4 8 1 0 a b c + + + < . Tìm số điểm cực trị của đồ thị hàm số ( ) ( ) g x f x = .

Câu 4. (2,5 điểm) Cho khối chóp .S ABCD có đáy ABCD là tứ giác lồi, tam giác ABD đều cạnh a ,

tam giác BCD cân tại C và  120 . BCD = ° Cạnh SA vuông góc với mặt phẳng( ) ABCD và 2 SA a = .

Mặt phẳng ( ) P đi qua A và vuông góc với SC cắt các cạnh , , SB SC SD lần lượt tại , , . M N P Tính thể

tích khối chóp .S AMNP .

Câu 5. (2,0 điểm) Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm ( ) 2 4 f x x ′ = − . Tìm m để hàm số

( ) 2 1 2ln x y f x x m x   = + + −    

nghịch biến trên khoảng ( ) 1;+∞.

Câu 6. (2,0 điểm) Phần trên của một cây thông Noel có dạng hình nón, đỉnh

, S độ dài đường sinh 2m l = và bán kính đáy 1m. r = Biết rằng AB là một

đường kính đáy của hình nón và I là trung điểm đoạn thẳng SB (tham khảo hình vẽ). Để trang trí, người ta lắp một dây bóng nháy trên mặt ngoài của cây thông từ vị trí A đến I. Tính độ dài ngắn nhất của dây bóng nháy.

Câu 7. (2,0 điểm) Cho phương trình 2 3 ( 2) 4 ( 1) 4 x m x m x x + + + = − + với m là tham số thực. Tìm

m để phương trình đã cho có 4 nghiệm thực phân biệt.

Câu 8. (2,0 điểm) Cho hàm số ( )

2 1 y f x x x = = + + . Tìm m để bất phương trình

( ) ( )

( )

2

2 1 1 0 1 1

x x m f x m f x

+ − − − + ≤ + −

nghiệm đúng với mọi [ ] 1;1 x∈− .

Câu 9. (2,0 điểm) Cho các số thực [ ] , , 4;8 . a b c∈ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2 3 2 1 log ( ). 4 F a b c abc = + + −

-------HẾT ------ - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: .........................................................Số báo danh:…………….

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

l

r

I

A

B

S

1

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2020-2021

- Môn: TOÁN HƯỚNG DẪN CHẤM (Hướng dẫn chấm gồm có 4 trang)

I. HƯỚNG DẪN CHUNG - Mọi cách giải khác đáp án, mà đúng và đủ các bước đều cho điểm tương ứng; - Ban Giám khảo có thể thống nhất phân chia các ý để cho điểm đến 0.25; - Điểm toàn bài không quy tròn. II. ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

Câu NỘI DUNG Điểm

Câu 1 (2.5 đ)

Pt hoành độ giao điểm của d và ( ) C

( ) 2 2 ( 4) 1 0 * 2 1 2 1 1 x m x m x x m x x

 + + + −= − + = + ⇔ + ≠− 

2 24 0, . m m R ∆= + > ∀ ∈ 0.5

2 24 ; 2 A B m x x a ∆ + − = = 2 2 A B A B y y x x − = −

2 2 2 5( 24) ( ) ( ) 5 2 A B A B A B m AB x x y y x x + = − + − = − =

0.5

( ) , 5

m d O AB = 0.5

( )

2 5( 24) 1 1 7 , . 7 . . 7 2 2 2 5 OAB m m S d O AB AB ∆ + = ⇔ = ⇔ = 0.5

4 2 24 112 0 2. m m m ⇔ + − = ⇔ = ± 0.5

Câu 2 (2.5đ)

Gọi Ω là không gian mẫu. Ta có ( ) n Ω= 3 20 1140 C = . 1.0 Gọi A là biến cố rút được ba tấm thẻ sao cho bất kì hai trong ba tấm thẻ lấy ra đó có hai số tương ứng ghi trên hai tấm thẻ luôn hơn kém nhau ít nhất hai đơn vị. Biến cố A xảy ra khi có các trường hợp sau: TH 1. Chọn ra 3 tấm thẻ ghi số liên tiếp có 18 cách.

0.5

TH2. Chọn ra 3 tấm thẻ trong đó có đúng 2 tấm thẻ ghi số liên tiếp: Nếu hai tấm thẻ liên tiếp đó đánh số 1,2 và 19,20 thì có 17 cách chọn tấm thẻ còn lại. Nếu hai tấm thẻ đó bắt đầu từ cặp số 2,3 đến cặp số 18,19 thì mỗi cặp số sẽ có 16 cách chọn tấm thẻ còn lại. Vậy TH 2 có 2.17 17.16 306 + = cách. Suy ra ( ) 18 306 324 n A = + =

0.5

Suy ra ( ) ( ) ( )

324 27 1140 95

n A P A n = = = Ω , suy ra ( ) ( ) …