Đề chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2020 - 2021 sở GDĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

HẢI DƯƠNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi: TOÁN. Ngày thi: 21/10/2020 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

(Đề thi có 01 trang) Câu I (2,0 điểm) 1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số   4 2 1 1 y x m x     có ba điểm cực trị

tạo thành một tam giác có ba góc nhọn.

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số     3 2 2 1 1 3 1 3 y x m x m x m        nghịch

biến trên khoảng   1;0  . Câu II (2,0 điểm)

1. Giải hệ phương trình sau:     

 

2 2 2 2

2 2 2

1 1 1

2 2 1 4 6 3 0

xy xy x y x x x

x xy x y xy x x

                 

.

2. Xác định các giá trị của tham số m để phương trình sau có 2 nghiệm thực phân biệt:

2 4 5 1 1 2 1 0 x m x x     . Câu III (2,0 điểm) 1. Kết thúc đợt Hội học chào mừng ngày Nhà giáo Việt Nam, lớp 12A có 10 bạn được trao thưởng

trong đó có An và Bình. Phần thưởng để trao cho 10 bạn gồm 5 quyển sách Hóa, 7 quyển sách Toán, 8 quyển sách Tiếng Anh (trong đó các quyển sách cùng môn là giống nhau). Mỗi bạn sẽ được nhận 2 quyển sách khác loại. Tìm xác suất để An và Bình có phần thưởng giống nhau. 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có   1 ;4 B  . Gọi D,   1;2 E  lần lượt là

chân đường cao kẻ từ , A B và M là trung điểm của đoạn thẳng AB . Biết 3 7 ; 2 2 I       

là tâm

đường tròn ngoại tiếp tam giác DEM . Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác ABC . Câu IV (3,0 điểm) 1. Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a và góc  120 BAD   . a) Tính thể tích khối chóp . S ABCD biết SA SB SC   và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng

( ) SCD bằng 3

4

a .

b) Tính thể tích khối chóp . S ABC biết góc giữa 2 mặt phẳng   ABC ,   SBC bằng 45 và tam giác

SAB vuông cân tại A. 2. Cho hình lăng trụ đứng . ABCD A B C D , đáy ABCD là hình thoi cạnh a . Gọi N là trung điểm của DD, M nằm trên cạnh BB sao cho 2 MB MB  , P là giao điểm của CC và   AMN . Biết

rằng góc  ABC   và AA a  . Tìm cos để góc giữa hai đường thẳng A P  và AN bằng 45. Câu V (1,0 điểm)

Cho , , x y z là các số dương nhỏ hơn 1 thỏa mãn

         

2 4 3 1 6 2 1 2 1 x y z x y z x yz x y x z x z x y                   

.

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

2 2 2

2 2 2 2( 3) 16 2 x y z P x y z        .

--------------Hết-------------- Họ và tên thí sinh: ...................................................................................... Số báo danh:.................................. Cán bộ coi thi số 1:...................................................... Cán bộ coi thi số 2: ....................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀOTẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC: 2020 - 2021. Ngày thi: 21/10/2020

Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm có 07 trang)

Câu Đáp án Điểm

I (2,0 điểm)

1. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số   4 2 1 1 y x m x     có ba

điểm cực trị tạo thành một tam giác có ba góc nhọn.

1,0

Ta có   3 2 4 2 1 2 (2 1) y x m x x x m       .

Hàm số có ba cực trị 1 0 1 m m     .

0,25

Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị hàm số là:   0;1 A ,  

2 1 1;1 2 4 m m B

          

,

 

2 1 1;1 2 4 m m C

           

    2 2 1 1 1 1 ; , ; 2 4 2 4 m m m m AB AC                         

 

.

0,25

Tam giác ABC luôn cân tại A . Do đó, tam giác ABC nhọn khi và chỉ khi góc  BAC

nhọn     

4

3 1 1 0 0 1 1 8 0 2 16 m m AB AC m m                  

0,25

1

1

m

m

    

. Kết hợp với điều kiện, ta được 1 m . 0,25

2. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

    3 2 2 1 1 3 1 3 y x m x m x m        nghịch biến trên khoảng   1;0  . 1,0

Ta có     2 2 1 3 y x m x m      có  

2 2 1 3 4 0, m m m m m           nên y

luôn có 2 …