Đề chọn đội tuyển HSG Toán 12 THPT năm 2020 - 2021 sở GDĐT Hà Nội

ĐỀTHI CHỌN ĐT HSG QUỐC GIA TP HÀ NỘI NĂM HỌC 2020-2021

Phan Phương Đức - Nguyễn Tiến Dũng

A. NGÀY THỨNHẤT (19/10/2020)

Bài 1. Cho dãy số(un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un 2nun + 3, ∀n ≥1. Tìm giới hạn lim n√un.

Bài 2. Cho đa thức P(x) = (x −a1) (x −a2) · · · (x −a9) −3, trong đó a1, a2, · · · , a9 là các sốnguyên đôi

một khác nhau. Chứng minh P(x) không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệsốnguyên có bậc

lớn hơn hoặc bằng 1.

Bài 3. Cho tam giác ABC cân tại A (∠BAC < 90◦) và M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Lấy điểm N

thuộc đoạn thẳng CM sao cho ∠CBN = ∠ACM.

a) Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giác BCN tiếp xúc với đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN.

b) Đoạn thẳng AC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN tại điểm thứhai là P. Gọi I là trung điểm

của đoạn thẳng BC. Chứng minh đường thẳng NP đi qua trung điểm của đoạn thẳng MI.

Bài 4. Tìm sốbộnguyên dương (a1, a2, · · · , a15) thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

i) 1 ≤a1 < a2 < · · · < a15 ≤2020;

ii) ai ≡i2 (mod 5), ∀i = 1, 2, · · · , 15.

B. NGÀY THỨHAI (20/10/2020)

Bài 5. Tìm tất cảcác hàm sốf : R →R thỏa mãn

f (4xf(x) + f(y)) = 4 (f(x))2 + y, ∀x, y ∈R.

Bài 6. Cho tam giác ABC nhọn (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE và CF của

tam giác ABC đồng quy tại H. Đường thẳng EF cắt đường thẳng BC tại điểm S. Qua S kẻcác tiếp tuyến

SX, SY tới đường tròn (O), với X, Y là các tiếp điểm.

a) Chứng minh D, X, Y thẳng hàng.

b) Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng XY và EF. Chứng minh đường thẳng IH đi qua trung điểm

của đoạn thẳng BC.

Bài 7. Cho p là một sốnguyên tốlớn hơn 3.

a) Chứng minh

p−1 X

i=1

Ci p 2 ≡0 (mod p3).

b) Cho n là một sốnguyên dương thỏa mãn n ≡1 (mod p). Chứng minh Cp np ≡n (mod p4).

Trang 1 Đềthi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021

C. HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1. Cho dãy số(un) xác định bởi u1 = 1 và un+1 = un 2nun + 3, ∀n ≥1. Tìm giới hạn lim n√un.

Lời giải:

Từgiảthiết, dễchứng minh bằng quy nạp: un ̸= 0, ∀n ∈N∗.

Khi đó, ta có: 1 un+1 = 2n + 3

un

⇒ 1 un+1 + 2n+1 = 3 1

un + 2n = · · · = 3n 1

u1 + 2 = 3n+1

⇒1

un = 3n −2n ⇒un = 1 3n −2n, ∀n ∈R

Khi đó, lim n√un = 1 lim n√3n −2n = 1

3 lim n s

1 − 2

3

n = 1

3·

Bài 2. Cho đa thức P(x) = (x −a1) (x −a2) · · · (x −a9) −3, trong đó a1, a2, · · · , a9 là các sốnguyên đôi

một khác nhau. Chứng minh P(x) không phân tích được thành tích của hai đa thức với hệsốnguyên có bậc

lớn hơn hoặc bằng 1.

Lời giải:

Giảsửcó thểphân tích được P(x) = F(x).G(x), với F(x), G(x) ∈Z[x], deg F, deg G ≥1.

KMTTQ, giảsửdeg F ≤deg G. Do deg F + deg G = deg P = 9 nên deg F ≤4.

Từđềbài, ta có: F(ai).G(ai) = 3, ∀i = 1, 9 ⇒F(ai) ∈{±1; ±3}, ∀i = 1, 9. Do 1 ≤deg F ≤4 nên

không tồn tại 5 giá trịF(ai) bằng nhau.

Mặt khác, theo nguyên lí Dirichlet, tồn tại ≥3 giá trịF(ai) bằng nhau. KMTTQ, giảsửF(a1) = F(a2) =

F(a3) = a ⇒F(x) = (x −a1)(x −a2)(x −a3)Q(x) + a, (a ∈{±1; ±3}).

Khi đó, ta xét các TH sau:

TH1: Nếu tồn tại i ̸= j ∈4, 9 mà F(ai), F(aj) = a ± 2

⇒(ai −a1)(ai −a2)(ai −a3)Q(ai) = ±2; (aj −a1)(aj −a2)(aj −a3)Q(aj) = ±2.

Do a1 ̸= a2 ̸= a3 ⇒ai −a1; ai −a2; ai −a3 có 1 sốbằng 1, 1 sốbằng −1, 1 sốbằng ±2.

KMTTQ, giảsửai −a1 = 1; ai −a2 = −1.

Tương tự, aj −a1; aj −a2; aj −a3 có 1 sốbằng 1, 1 sốbằng −1, 1 sốbằng ±2.

⇒ai −a1 + ai −a2 + ai −a3 ≡0 ≡aj −a1 + aj −a2 + aj −a3 (mod 2) ⇒ai ≡aj (mod 2).

⇒

  

 

ai −a1 ≡aj −a1 (mod 2) ⇒aj −a1 = −1

ai −a2 ≡aj −a2 (mod 2) ⇒aj −a2 = 1. ⇒ai −a1 + ai −a2 = 0 = aj −a1 + aj −a2 ⇒ai = aj (vô lí).

TH2: Nếu không tồn tại i, j thỏa mãn TH1, thì phải có 5 giá trị, KMTTQ là a5, a6, a7, a8, a9 sao cho

F(a5) = F(a6) = F(a7) = F(a8) = b; F(a9) = b ± 2.

⇒F(x) = (x −a5)(x −a6)(x −a7)(x −a8) + b ⇒(a9 −a5)(a9 −a6)(a9 −a7)(a9 −a8) = ±2.

Khi đó, phải có 2 trong các sốa9 −a5, a9 −a6, a9 −a7, a9 −a8 bằng nhau (vô lí).

Suy ra đpcm.

Đềthi chọn ĐT HSG Quốc gia TP Hà Nội năm học 2020-2021 Trang 2