Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GDĐT Ninh Thuận

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NINH THUẬN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM HỌC: 2019 - 2020 Khóa ngày: 21/03/2020 Môn thi: TOÁN - THPT Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

ĐỀ:

(Đề thi có 01 trang / 20 điểm)

Bài 1: Cho , ,z x y là các số thực dương thỏa 1 xyz . Chứng minh rằng

      3 3 3 1 1 1 3 2 x y z y z x z x y       .

Lời giải

     

2 2 2 1 1 1

VT y x z x y z y z x z x y       .

Áp dụng bất đẳng thức C-S, ta có:        

2

2 2 2 1 1 1 1 1 1

2 x y z y x z x y z y z x z x y xy yz zx

                .

Theo giả thiết , ,z x y là các số thực dương thỏa 1 xyz , khi đó:

 

2 3 3 3 VT VT VT 2 2 2

xyz xy yz zx        (đpcm).

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1 x y z   .

Bài 2: Giải phương trình

2 2 5 14 9 20 5 1 x x x x x       .

Lời giải

Điều kiện xác định:

2

2 5 14 9 0

20 0 5 1 0

x x

x x x x

            

.

Ta có:     2 2 2 5 14 9 5 1 20 2 5 2 5 1 4 5 x x x x x x x x x x              .

Đặt

2 4

4 5

u x

v x x

  

    với điều kiện: 3, 0 u v   .

Khi đó phương trình trên trở thành:

    2 2 3 2 5 3 2 0 u v uv u u v v u v           3 2 0 3 2 u v u v u v u v          .

TH1: u v  suy ra: 2 2

5 61 2 4 4 5 5 9 0

5 61 2

x x x x x x

x

                 

.

Đối chiếu điều kiện nhận 5 61 2 x   .

TH2: 3 2 u v  suy ra: 2 2

8 3 4 2 4 5 4 25 56 0 7 4

x x x x x x x

            

.

Đối chiếu điều kiện nhận 8 x  .

Vậy tập nghiệm của phương trình 5 61 ;8 2 S           

.

Bài 3: Cho 2, 3, 4 a b c    . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

4 2 3 ab c bc a ca b N abc       .

Lời giải

Ta có: 4 2 3 2 4 2 2 3 3 2 2 3 c a b c a b N c a b c a b             .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

1 4 4 1 2 2 1 3 3 1 1 1 2 2 2 2 4 2 3 2 2 2 3 c c b N N c a b            .

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

2 4 8 2 2 4 6 3 3

c c a a b b

                 

.

Bài 4: Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số, trong đó 2 có mặt đúng hai lần, chữ số 3 có mặt đúng ba lần và các chữ số khác có mặt tối đa một lần.

Lời giải TH1: Xếp số 0 ở mọi vị trí. Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: 3 7 C cách.

Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: 2 4 C cách.

Xếp 2 vị trí còn lại có thứ tự, có: 2 8A cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 3 7 C 2 4 C 2 8A 11760  số.

TH2: Xếp số 0 vị trí đầu. Lấy 3 vị trí, xếp số 3 vào ba vị trí có: 3 6 C cách.

Lấy 2 vị trí tiếp theo, xếp số 2 vào hai vị trí có: 2 3 C cách.

Xếp 1 vị trí còn lại có thứ tự, có: 1 7 A cách.

Vậy theo quy tắc nhân có 3 6 C 2 3 C 1 7 A 420  số.

Từ trường hợp 1 và trường hợp 2, ta có 11760 420 11340   số thỏa mãn điều kiện bài toán.

Bài 5: Cho tam giác ABC có bán kính đường tròn ngoại tiếp 1 R  và sin sin sin 3

a b c

A B C m m m   

(với , , a b c m m m lần lượt là độ dài của các đường trung tuyến xuất phát từ các đỉnh , , A B C của tam giác ABC ). Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

Lời giải

Xét bài toán: Cho tam giác ABC . Chứng minh rằng: 2 2 2 2 3 . a a b c a m    .

Áp dụng công thức trung tuyến, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 a a b c a m m b c a        .

Suy ra: 2 2 2 2 3 . 3 2 2 a a m a b c a    .

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có:

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 3 . 3 2 2 3 . 2 a a a b c a a m a b c a a m a b c            (đpcm).

Theo giả thiết, ta có 1 R  suy ra sin ,sin ,sin 2 2 2 a b c A B C    ;

Khi đó: sin sin sin 3 1 2 3 2 3 2 3 a b c a b c

A B C a b c m m m m m m       

2 2 2

1 2 3 2 3 2 3 a b c

a b c am bm cm    (*).

Áp dụng bài toán chứng minh trên, ta có:

2 2 2

2 2 2

2 2 2

2 3 .

2 3 .

2 3 .

a

b

c

a m a b c

b m a b c

c m a b c

             

.

Khi đó ta hoàn toàn chứng minh được:

2 2 2

1 2 3 2 3 2 3 a b c

a b c am bm cm    

Thật vậy:

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2 …