Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 - 2020 sở GDĐT Đồng Nai

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI NĂM HỌC 2019 – 2020

Câu 1. (5,0 điểm) Cho hàm số 2 2 3 1 ( 4) (4 1) y m x m x x , với m là tham số. a) Hỏi có bao nhiêu giá trị nguyên của m để hàm số đã cho nghịch biến trên . b) Tìm các số thực m để hàm số đã cho đạt cực đại tại 1 x  . c) Tìm các số thực m để giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên [ 2; 1] bằng 9

Giải a) 2 2 ' 3 2(4 1) 4 y x m x m      , Hàm số nghịch biến trên

2 2 2 ' 11 ' 0 (4 1) 3( 4) 0 19 8 11 0 1 19 y m m m m m               .

Vậy có hai giá trị nguyên 0 m  và 1 m 

b) Hàm số có cực đại tại 2 1 1 '(1) 0 8 9 0 9 m x y m m m

            + Nếu 2 1 ' 3 6 3 0 1 m y x x x         không là cực đại 1 m   (loại)

+ Nếu 2 9, ' 3 74 77, '' 6 74 , ''(1) 80 0 m y x x y x x y         nên hàm số có cực đại tạ

1 x  . Vậy 9 m  (nhận) c) Vì

[ 2; 1] 9 Min y   suy ra mọi giá trị của hàm số y với [ 2; 1] x    phải lớn hơn hay bằng 9

nghĩa là

2 2

2 2 ( 1) 9 4 5 9 4 4 0 2 ( 2) 9 2 16 13 9 2 16 4 0

y m m m m m y m m m m

                                    

Thử lại ta có 3 2 7 1 y x x    có 2 0 ' 3 14 0 14 3

x y x x x

         Suy ra hàm nghịch biến trên [ 2; 1]   và

[ 2; 1] min ( 1) 9 y y     . Vậy 2 m  thỏa mãn

Câu 2. (3,0 điểm)

1) Giải phương trình ( 10 3) ( 10 3) 38 x x     . 2) Giải phương trình sin2 cos2 3sin cos 1 0 x x x x

Giải

1) Vì ( 10 3) .( 10 3) (10 9) 1 x x x     

Đặt 1 ( 10 3) ( 0) ( 10 3) x x t t t      

Ta được :

2

2 2 2

2

19 6 10 ( 10 3) 1 38 38 1 0 1 19 6 10 ( 10 3) ( 10 3) ( 10 3)

t t t t t t 

                    

2

2 ( 10 3) ( 10 3) 2 2 ( 10 3) ( 10 3)

x

x x x 

                2) 2 sin2 cos2 3sin cos 1 0 cos (2sin 1) 2sin 3sin 2 0 x x x x x x x x

cos (2sin 1) (2sin 1)(sin 2) 0 (2sin 1)(sin cos 2) 0 x x x x x x x           

1 2 sin 6 ( ) 2 5 sin cos 2 ( ) 2 6

x k x k x x VN x k

 

 

                  

Câu 3. (2,0 điểm) Một trang trại xây một bể nước hình hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 3 18,432 m

(tính cả thành và đáy bể), biết đáy bể là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Chi phí xây bể được tính theo tổng diện tích của thành (mặt bên ngoài) và đáy bể với giá 800 nghìn đồng 2 /m . Tìm các kích thước của bể để chi phí xây bể là nhỏ nhất và tính gần đúng chi phí đó.

Giải Gọi chiều dài rộng, chiều dài và chiều cao của hình hộp chữ nhật là

2

2 18,432 , 2 , ( , 0) 2 18,432

2 x x h x h V x h h

x      

Tổng diện tích 5 mặt (không có nắp) là 2 2 2 2 18,432 55,296 2 6 2 6 2 2 S x xh x x x x x      

Xét 2 2 2 3 55,296 27,648 27,648 27,648 27,648 ( ) 2 2 3 2 . . 34,56 f x x x x x x x x x       

Dấu  xảy ra 2 27,648 2 2,4 1,6 x x h x       .

Vậy ba kích thước chiều rộng, chiều dài và chiều cao là 2,4 ; 4,8 ; 1,2

Chi phí là 34,56.800000 27648000  (đồng) Câu 4. (3,5 điểm) Cho hình chóp . S ABCD có đáy là hình vuông cạnh a và SA vuông góc mặt phẳng đáy, SA a  . Biết , M N là hai điểm thay đổi lần lượt thuộc hai cạnh AB và AD sao cho AM AN a  

1) Chứng minh thể tích . S AMCN có giá trị không đổi 2) Tính theo a khoảng cách từ C đến ( ) SMN . Chứng minh mặt phẳng ( ) SMN luôn tiếp xúc với một mặt cầu cố định.

Giải