Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 - 2020 sở GDĐT Hưng Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I (6,0 điểm).

1. Cho hàm số 3 2 1 y x mx    có đồ thị   m C . Tìm các giá trị của tham số m để đường thẳng

: 1 d y x   cắt đồ thị   m C tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị   m C tại hai

trong ba điểm đó vuông góc với nhau.

2. Cho hàm số  

2 1

2

x y x

   có đồ thị  C . Gọi     1 1 2 2 ; , ; A x y B x y là các điểm cực trị của  C

với 1 2 x x  . Tìm điểm M trên trục tung sao cho 2 2 2 2 T MA MB MA MB      

đạt giá trị nhỏ

nhất. Câu II (4,0 điểm).

1. Giải phương trình:     1 3 3 2 3 1 log 2 2 log 2 1 2 x x      .

2. Cho các số thực , , 2;8 a b c       và thỏa mãn điều kiện 64 abc  . Tìm giá trị lớn nhất của biểu

thức 2 2 2 2 2 2 log log log P a b c    .

Câu III (5,0 điểm).

1. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang cân với 2 , AD a AB BC CD a     , cạnh SA vuông góc với đáy. Gọi M là trung điểm của SB và N là điểm thuộc đoạn SD sao cho

2 NS ND  . Biết khoảng cách từ S đến mặt phẳng (AMN) bằng 6 43 43 a , tính thể tích của khối

chóp S.ABCD theo a.

2. Cho tam giác ABC vuông tại A có  60o ABC  . Đường phân giác của góc  ABC cắt AC tại I. Trên nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng AC, vẽ nửa đường tròn tâm I tiếp xúc với cạnh BC. Cho miền tam giác ABC và nửa hình tròn trên quay quanh trục AC tạo thành các khối tròn xoay

có thể tích lần lượt là 1 2 , V V . Tính tỉ số 1

2

V

V .

Câu IV (1,0 điểm). Tìm họ nguyên hàm ln 1

ln 1 1

x I dx x x

     .

Câu V (2,0 điểm). Giải hệ phương trình 2 2 3 2 2 7 3 8

3 8 5 6 12 7

x y y x

xy x xy x y

              

.

Câu VI (2,0 điểm). Cho dãy  n a xác định

1

2 1

1

1, 1 2 n n n

a

n a a n 

         

. Tìm số hạng tổng quát n a

và tính lim n a .

............HẾT............

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh ...........................................................................Số báo danh ................. Giám thị coi thi ..........................................................................

HƯỚNG DẪN GIẢI THAM KHẢO

Câu I. 1. Cho hàm số 3 2 1 y x mx    có đồ thị   m C . Tìm các giá trị của tham số m để đường

thẳng : 1 d y x   cắt đồ thị   m C tại 3 điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến của đồ thị   m C tại

hai trong ba điểm đó vuông góc với nhau.

Hướng dẫn

Giả sử có ba giao điểm là A, B, C khác nhau, phương trình hoành độ giao điểm là:

  

3 2 2 0 0; 1 0 1 0 *

x A x mx x x mx

            

. Dễ thấy 0 1 A tt k y    suy ra không có tiếp tuyến

vuông góc nhau tại A. Còn lại hai giao điểm B, C có hoành độ là nghiệm của (*).

Ta có 1 2

1 2

1 x x x x m

     

và để hai tiếp tuyến vuông góc nhau thì     1 1 2 2 3 2 . 3 2 1 x x m x x m   

2 2 2 9 6 4 1 5 5 m m m m        , thỏa mãn 2 4 0 m    .

Vậy các giá trị của m là 5 m  .

Câu I. 2. Cho hàm số  

2 1

2

x y x

   có đồ thị  C . Gọi     1 1 2 2 ; , ; A x y B x y là các điểm cực trị của

 C với 1 2 x x  . Tìm điểm M trên trục tung sao cho 2 2 2 2 T MA MB MA MB      

đạt giá trị

nhỏ nhất.

Hướng dẫn.

Ta có

 

1 2 2 1 1 , 2 ' 1 3, 1 2 2 y x x y x x x x          

là hoành độ các điểm cực

trị hay     3; 4 , 1;1 A B   . Gọi I là điểm thỏa mãn   2 0 5; 9 IA IB I       

.

Khi đó    

2 2 2 2 2 2 2 T MA MB MA MB MI IA MI IB MI                  

   

2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 9 5 9 27 5 32 T IA IB MI MI y y              

Nên   min 32 9 0; 9 T y M      .

Câu II. 1. Giải phương trình:     1 3 3 2 3 1 log 2 2 log 2 1 2 x x      .

Hướng dẫn.

PT        

2

1 3 3 2 3 1 log 2 2 log 2 1 2 2 1 3 3 2 …