Đề thi chọn học sinh giỏi Quốc gia THPT môn Toán năm học 2019 - 2020

LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀVMO 2019 – 2020

(Lê Phúc Lữtổng hợp và giới thiệu)

Xin cám ơn các thầy Võ Quốc Bá Cẩn, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Linh và các bạn Đoàn Cao Khả, Nguyễn Công Thành, Nguyễn Mạc Nam Trung đã chia sẻmột sốnội dung đểcó thểhoàn tất tài liệu này.

Kỳthi chọn HSG quốc gia (viết tắt là VMO) năm nay diễn ra vào các ngày 27, 28 tháng 12/2019. Cấu trúc đềnăm nay là:

1. Giới hạn dãy số.

2. Bất đẳng thức.

3. Dãy sốnguyên.

4. Hình học phẳng.

5. Hệphương trình.

6. Hình học phẳng.

7. Tổhợp.

Tổng quan vềđềthi, có thểnói đềngày 1 so với "cùng kỳnăm trước" quảthật rất khác. Các câu hỏi đều có ý a đểdẫn dắt gợi mởvà thậm chí là cho điểm. Ý tưởng tuy không mới mẻbằng năm trước nhưng cũng là các thửthách đáng kểvới thí sinh. Hầu hết các thí sinh nếu ôn luyện cẩn thận sẽlàm tốt 4 ý a, và có thểlàm thêm 1 ý b nào đó nữa. Các ý b có độkhó cũng khá tương đương nhau, tùy vào sởtrường của thí sinh, nhưng nhìn chung sốbạn làm được trọn vẹn cảbài hình là không nhiều.

Ngày thi thứhai có một bất ngờlớn khi xuất hiện câu biện luận hệphương trình cũng như ý tổhợp a quá nhẹnhàng. Các câu hệa và tổa xem như cho điểm hoàn toàn. Cả câu hình và tổb cũng ởmức trung bình (xây dựng mô hình khá đơn giản). Tuy nhiên, câu hệb và tổc quảthực là thách thức lớn, đòi hỏi phải kỹnăng xửlý tình huống tốt. Nhưng nói chung, đềthi năm nay mới mẻ, đòi hỏi thí sinh vừa phải nắm chắc kiến thức, vừa phải có ít nhiều sáng tạo mới có thểlàm trọn vẹn được.

Dưới đây là lời giải chi tiết, bình luận phân tích liên quan; một sốnội dung có tham khảo tại group "Hướng tới VMO-TST" trên Facebook.

1

2

1. Đềthi ngày 1 (ngày 27/12/2019)

Bài 1. (5 điểm) Cho dãy số(xn) xác định bởi x1 = 1 và

xn+1 = xn + 3pxn + n pxn với mọi n ≥1.

a) Chứng minh rằng lim n→+∞

n xn = 0.

b) Tính giới hạn lim n→+∞

n2

xn.

Bài 2. (5 điểm)

a) Cho ba sốthực a, b, c thỏa mãn a2 + b2 + c2 = 1. Chứng minh rằng

|a −b| + |b −c| + |c −a| ≤2 p

2.

b) Cho 2019 sốthực a1, a2,..., a2019 thỏa mãn a2 1 + a2 2 + ··· + a2 2019 = 1. Tìm giá trị lớn nhất của S = |a1 −a2| + |a2 −a3| + ··· + a2019 −a1 .

Bài 3. (5 điểm) Cho dãy số(an) xác định bởi a1 = 5, a2 = 13 và

an+2 = 5an+1 −6an với mọi n ≥2.

a) Chứng minh rằng hai sốhạng liên tiếp của dãy trên nguyên tốcùng nhau.

b) Chứng minh rằng nếu p là ước nguyên tốcủa a2k thì p −1 chia hết cho 2k+1 với mọi sốtựnhiên k.

Bài 4. (5 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân nội tiếp đường tròn (O) và trực tâm H. Gọi D, E, F lần lượt là các điểm đối xứng với O qua BC, CA,AB.

a) Gọi Ha là điểm đối xứng của H qua BC, và A′ là điểm đối xứng của A qua O. Gọi Oa là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OBC. Chứng minh rằng HD′,A′Oa cắt nhau tại một điểm trên (O).

b) Lấy điểm X sao cho tứgiác AX DA′ là hình bình hành. Chứng minh rằng các đường tròn ngoại tiếp tam giác AHX,ABF,ACE có một điểm chung khác A.

Lời giải và bình luận VMO 2019-2020

3

2. Đềthi ngày 2 (ngày 28/12/2019)

Bài 5. (6 điểm) Cho hệphương trình (tham sốa):

 



x −a y = yz

y −az = zx

z −ax = x y (với x, y,z ∈R).

a) Giải hệkhi a = 0.

b) Chứng minh rằng hệcó 5 nghiệm khi a > 1.

Bài 6. (7 điểm) Cho tam giác ABC nhọn không cân có các đường cao AD, BE, CF với D, E, F là các chân đường cao. Đường tròn đường kính AD cắt DE, DF lần lượt tại M, N. Lấy các điểm P,Q tương ứng trên AB,AC sao cho N P⊥AB, MQ⊥AC. Gọi (I) là đường tròn ngoại tiếp tam giác APQ.

a) Chứng minh rằng (I) tiếp xúc với EF.

b) Gọi T là tiếp điểm của (I) với EF, K là giao điểm của DT, MN và L đối xứng với A qua MN. Chứng minh rằng (DK L) đi qua giao điểm của MN và EF.

Bài 7. (7 điểm) Cho sốnguyên dương n > 1. Ký hiệu T là tập hợp tất cảcác bộ có thứtự(x, y,z) trong đó x, y,z là các sốnguyên dương đôi một khác nhau và 1 ≤x, y,z ≤2n. Một tập hợp A các bộcó thứtự(u, v) được gọi là “liên kết” với T nếu với mỗi phần tử(x, y,z) ∈T thì {(x, y),(x,z),(y,z)} ∩A ̸= ∅.

a) Tính sốphần tửcủa T.

b) Chứng minh rằng tồn tại một tập hợp liên kết với T có đúng 2n(n −1) phần tử.

c) Chứng minh rằng mỗi tập hợp liên kết với T có không …