Đề thi HSG tỉnh Toán 12 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Lâm Đồng

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ HSG 12 TỈNH LÂM ĐỒNG

1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN –THPT

Thời gian: 180 phút

ĐỀ BÀI

PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH

Câu 1: (2,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 3 3 1 y x x mx = − + + − nghịch biến trên

khoảng ( ) 0;+ ∞.

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( ) 3 log 5 3 0 x x − + = .

b) Giải phương trình ( ) cos2 7cos 3 sin 2 7sin 8 x x x x + − − = .

Câu 3: (2,0 điểm)

Một chiếc cốc hình trụ có bán kính đáy bằng 5cm và chiều cao 20cm bên trong có một

khối lập phương cạnh 6cm như hình minh họa. Khi đổ nước vào cốc, khối lập phương

sẽ nổi 1 3 thể tích của nó lên trên mặt nước (mặt trên khối lập phương song song với

mặt nước). Tính thể tích lượng nước đổ vào cốc để mặt trên của khối lập phương

ngang bằng với miệng cốc khi nó nổi lên. (lấy 3,14 π = )

Câu 4: (4,0 điểm) Giải hệ phương trình ( ) ( )

2 2 2 1 3 0

4 2 3

x y y x

x y x y x

 − −− − =  + − + = + 

.

Câu 5: (4,0 điểm) Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật , 2 , AB a AD a SA = =

vuông góc với mặt đáy, SB tạo với mặt đáy một góc 60°, điểm E thuộc cạnh SA và

3 3 a AE = . Mặt phẳng ( ) BCE cắt SD tại F . Tính thể tích khối đa diện ABCDEF V và

khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và BE .

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ HSG 12 TỈNH LÂM ĐỒNG

2

NHÓM TOÁN VD – VDC

Câu 6: (2,0 điểm) Học sinh A thiết kể bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học của lớp mình.

Bảng gồm 15 nút, mỗi nút được ghi một số từ 1 đến 15 và không có hai nút nào được

ghi cùng một số. Để mở cửa cần nhấn ba nút khác nhau sao cho tổng các số trên ba nút

đó là số chẵn. Học sinh B không biết quy tắc mở cửa trên, đã nhấn ngẫu nhiên ba nút

khác nhau trên bảng điều khiển. Tính xác suất để B mở được cửa phòng học đó.

PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH HỆ THPT

Câu 7A. (2,0 điểm)

Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm trên  và có đồ thị như hình vẽ bên.

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình

3 2

4 2 9 3 2 1 4 2

m x x x f x x   + +   + =     + +    

.có ít

nhất ba nghiệm phân biệt.

Câu 8 A. (2,0 điểm) Cho các số thực không âm thỏa mãn 1 x y + ≤ và 1. xyz = Tìm giá trị lớn nhất

của biểu thức 2 2 1 1 1 1 4 1 4 P z x y = + − + + + .

PHẦN RIÊNG CHO THÍ SINH HỆ GDXT

Câu 7B. (2,0 điểm) Tìm hệ số 7 x khi khai triển nhị thức 2 2 n x x

  −    

, với 0 x ≠ , biết rằng n là số

nguyên dương thỏa 3 2 3 1 4 2 n n n C C A + + = .

Câu 8B. (2,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số 2 2 9 8 7 y x x x x = + − − − .

------------HẾT------------

NHÓM TOÁN VD – VDC

https:/www.facebook.com/groups/toanvd.vdc

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT LÂM ĐỒNG

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 02 trang)

KỲ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN –THPT

Thời gian: 180 phút

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: (2,0 điểm)

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số 3 2 3 3 1 y x x mx = − + + − nghịch biến trên

khoảng ( ) 0;+ ∞.

Lời giải

Tập xác định: D = 

Ta có ( ) 2 2 3 6 3 3 2 y x x m x x m ′ = − + + = − + + .

Hàm số đã cho nghịch biến trên khoảng ( ) ( ) 0; 0, 0; y x ′ + ∞⇔ ≤ ∀∈ + ∞

( ) ( ) 2 2 2 0, 0; 2 , 0; x x m x m x x x ⇔− + + ≤ ∀∈ + ∞⇔ ≤ − ∀∈ + ∞.

Xét ( ) ( ) 2 2 , 0; f x x x x = − ∈ + ∞.

Bảng biến thiên

x 0 1 +∞

( ) f x

+∞

0

1 −

Từ bảng biến thiên, suy ra ( ) ( ) ( ) ( ) 0; , 0; min 1 m f x x m f x m +∞ ≤ ∀∈ + ∞⇔ ≤ ⇔ ≤−.

Vậy 1 m ≤−.

Câu 2: (4,0 điểm)

a) Tính tổng tất cả các nghiệm của phương trình ( ) 3 log 5 3 0 x x − + = .

Điều kiện: 3 5 3 0 log 5 x x − > ⇔ < .

Ta có ( ) ( ) 3 3 1 log 5 3 0 log 5 3 5 3 3

x x x x x x − + = ⇔ − = −⇔ − =

3

2

3

5 21 5 21 log 3 2 2 3 5.3 1 0 5 21 5 21 3 log 2 2

x

x x

x

x

x

   +  + =    =        ⇔ − + = ⇔ ⇔    − −  = =          

(thỏa mãn điều kiện).

3 3 3 3 5 21 5 21 5 21 5 21 log log log log 1 0 2 2 2 2 S        + − + − ⇒ = + = = =                     

.

Vậy tổng …