Đề thi HSG Toán 12 THPT cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GDĐT Quảng Bình

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH QUẢNG BÌNH

(Đề thi có 01 trang và 05 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH NĂM 2019 - 2020

Môn thi: TOÁN

LỚP 12 THPT

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,0 điểm).

a. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos 1

2 sin2

x x y x

   

.

b. Cho hàm số 1 x y x   có đồ thị  C và điểm   1;1 A  . Tìm các giá trị của m để đường thẳng

: 1 d y mx m    cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt , M N sao cho 2 2 AM AN  đạt giá trị nhỏ nhất.

Câu 2 (2,0 điểm).

a. Cho hàm số  1 1 2019x f x  

. Tính tỉ số P Q , với     ' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019 P f f f     và

      ' 1 2 ' 2 ... 2019 ' 2019 Q f f f        .

b. Giải phương trình:   2 2 log 3log 3 1 1 x x          .

Câu 3 (2,0 điểm).

a. Cho tam giác đều ABC cạnh 8cm. Chia tam giác này thành 64 tam giác đều cạnh 1cm bởi các đường thẳng song song với các cạnh tam giác ABC (như hình vẽ). Gọi S là tập hợp các đỉnh của các tam giác cạnh 1cm. Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh thuộc S. Tính xác suất sao cho 4 đỉnh được chọn là 4 đỉnh của hình bình hành nằm trong miền trong của tam giác ABC và có cạnh chứa các cạnh của các tam giác cạnh 1 cm ở trên.

b. Tìm công sai d của cấp số cộng   n u có tất cả các số hạng đều dương và thỏa mãn:

  1 2 2020 1 2 1010 2 2 2 3 3 3 5 3 14

... 4 ...

log log log 2

u u u u u u

u u u

            

.

Câu 4 (3,0 điểm). Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA ⊥(ABCD), SA = a. Một mặt phẳng

  qua CD cắt SA, SB lần lượt tại M, N. Đặt AM = x, với 0 x a   .

a. Tứ giác MNCD là hình gì? Tính diện tích tứ giác MNCD theo a và x.

b. Xác định x để thể tích khối chóp S.MNCD bằng 2 9 lần thể tích khối chóp S.ABCD.

Câu 5 (1,0 điểm).

a. Cho các số thực phân biệt , 1 a b  . Chứng minh rằng:     log log log log a a b a b b  .

b. Cho các số thực   1 2 ... 1, 2 n a a a n      . Chứng minh rằng:

        1 1 2 2 1 1 2 3 1 log log log log ... log log log log 0 n n n n a a a a a a n a a a a a a        .

............ HẾT ............

B C

A

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI (THAM KHẢO)

Câu 1a (1,0 điểm). Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sin cos 1

2 sin2

x x y x

   

.

Hướng dẫn

Đặt 2 sin cos 2; 2 sin2 1 x x t x t             , khi đó  2 1 , 2; 2 1

t y f t t t

          

.

Ta có   

 2 2 1 ' ' 0 1 1 1

t f t f t t t t

       

.

Tính      1 2 1 2 2 ; 2 , 1 2 3 3 f f f       .

Suy ra: 1 2 3 min 2 4 3 y x k        ; max 2 2 , 2 2 y x k x k         .

Câu 1b (1,0 điểm). Cho hàm số 1 x y x   có đồ thị  C và điểm   1;1 A  . Tìm các giá trị của m để

đường thẳng : 1 d y mx m    cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt , M N sao cho 2 2 AM AN 

đạt giá trị nhỏ nhất.

Hướng dẫn

Cách 1:

Dễ thấy đường thẳng : 1 d y mx m    luôn đi qua điểm   1; 1 I  là giao điểm của hai đường tiệm

cận. Ta có

 

2 1 ' 0, 1 1 y x x     

nên để đường thẳng  d cắt  C tại hai điểm phân biệt , M N thì

0 m  . Khi đó   1; 1 I  luôn là trung điểm của đoạn MN.

Ta có  

2 2 2 2 2 4 2 32 2 AM AN AM AN AMAN AI AMAN AMAN              

(*).

Do A cố định nên: nếu ta xét được AMAN 

là số dương và trong tam giác AMN có cạnh MN nhỏ nhất thì tìm được giá trị nhỏ nhất. Mà  C là Hypebol nên khi  d là đường phân giác của góc tạo bởi hai

tiệm cận thì 1 m  và : d y x  cắt  C tại hai điểm phân biệt     0;0 , 2; 2 M N  và MN nhỏ nhất,

ta có:    1.3 1 3 6 0 AMAN      

, hơn nữa 2 2 32 12 20 AM AN     . Vậy

  2 2 min 20 1 AM AN m    .

Cách 2:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của  d cắt và  C : 1 , 1 1 x mx m x x     

2 2 1 0 mx mx m      (vì 1 x  không là nghiệm).