Đề thi học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 - 2020 sở GDĐT Gia Lai

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN –THPT

Thời gian: 180 phút

ĐỀ BÀI

Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số

3 2 3 3 y x mx = − + có đồ thị ( ) C . Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để đường thẳng : d y x = cắt đồ thị ( ) C tại ba điểm phân biệt có hoành độ

lập thành cấp số cộng.

Câu 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực ( ) ( ) 2 2 1 1 8 5 4 1 x x x x + −+ = + −

b) Giải hệ phương trình trên tập số thực ( )

( )

2 2 2

2

2

2020 2019 1 2020

2 3 1 9 3 2

y x x y

y x x y

−  + =  +   + −= − 

Câu 3: (2,0 điểm)

Tìm hệ số của 10 x trong khai triển ( ) ( )

2 3 2 1 1 2 4

n f x x x x   = + + +    

với n là số tự nhiên

thỏa mãn 3 2 14 n n n A C n − + =

Câu 4: (2,0 điểm) Cho tam giác ABC có sin sin 2sin A C B + = và 2 3 tan tan 2 2 3 A C + = . Chứng

minh rằng tam giác ABC đều.

Câu 5: (2,0 điểm) Cho dãy số (un) xác định bởi

1

1

2

4 3, 1 3 2

n n n

u

u u n u +

=   −  = ∀≥  − 

Tính 1 1 2

1 1 1 ... 1 2 1 lim n u u u A n

+ + + − − − = là một CSN.

Câu 6: (2,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình chữ nhật ABCD . Gọi H là

hình chiếu vuông góc của B lên AC , M và N lần lượt là trung điểm của BH

và AH . Trên cạnh CD lấy điểm K sao cho tứ giác MNCK là hình bình hành. Biết

9 2 ; 5 5 M      

, ( ) 9;2 K , điểm B thuộc đường thẳng 1 : 2 2 0 d x y − + = và điểm C thuộc

2 : 5 0 d x y − − = và hoành độ đỉnh C lớn hơn 4 . Tìm tọa độ các đỉnh của hình

chữ nhật ABCD .

Câu 7: (2,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có thể tích V . Gọi I là điểm thuộc miền trong của tứ

diện ABCD , các đường thẳng AI , BI , CI , DI lần lượt cắt các mặt phẳng

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

( ) BCD , ( ) ACD , ( ) ABD , ( ) ABC tại các điểm M , N , P , Q thỏa mãn

AI MI CI DI MI NI PI QI = = = . Biết IBCD a V V b = , với ,a b ∗ ∈ và a b tối giản. Tính S a b = + .

Câu 8: (4,0 điểm) Cho hai số thực dương a , b thỏa mãn ( ) 4 4 8 2 3 ab a b − = + . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức 2 2 2 2 1 1 1 1 1 3 ab P a b a b = + + + + + .

-----------HẾT-----------

NHÓM TOÁN VD – VDC ĐỀ THI HSG TOÁN

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT GIA LAI

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12

NĂM HỌC 2019 - 2020

MÔN: TOÁN –THPT

Thời gian: 180 phút

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1: ( 2,0 điểm) Cho hàm số

3 2 3 3 y x mx = − + có đồ thị ( ) C . Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để đường thẳng : d y x = cắt đồ thị ( ) C tại ba điểm phân biệt có hoành độ

lập thành cấp số cộng.

Lời giải

Ta có phương trình hoành độ 3 2 3 2 3 3 3 3 0 x mx x x mx x − + = ⇔ − − + = , (1)

Do phương trình (1) có ba nghiệm phân biệt 1 2 3 , , x x x theo thứ tự lập thành cấp số

cộng suy ra

2 1 3 2x x x = + ,(2).

Mặt khác theo định lí Vi-ét cho phương trình bậc ba ta có

1 2 3

1 2 2 3 3 1

1 2 3

3

1

3

x x x m

x x x x x x

x x x

+ + =   + + = −   = − 

.

Thay (2) vào phương trình đầu tiên ta được 2x m = , mà 2x là nghiệm của phương

trình (1) ta được 3 2 1 2 3 0 1 2 2 3 0

m m m m m m

=  − − + = ⇔ ⇔ =  + + = 

.

Thử lại với 1 m = ta được phương trình hoành độ

1 3 2 2

3

1

3 3 0 1

3

x

x x x x

x

= −   − − + = ⇔ =   = 

dễ thấy

ba nghiệm này lập thành cấp số cộng với công sai 2 d = .

Câu 2: (4.0 điểm)

a) Giải phương trình sau trên tập số thực ( ) ( ) 2 2 1 1 8 5 4 1 x x x x + −+ = + −

Lời giải

Cách 1

Điều kiện 1 x ≥

PT ( ) 2 2 2 1 8 5 4 1 x x x x x ⇔ + −+ = + −

( ) ( ) 2 2 1 1 5 1 3 0 x x x ⇔ − −− − + =

Đặt ( ) 1 0 t x t = − ≥ , phương trình trở thành

5 2 2 5 3 0 t t − + = ( ) ( ) 2 3 2 1 2 4 6 3 0 t t t t ⇔ − + + + = 1 t ⇔= vì

3 2 2 4 6 3 0, 0 t t t t + + + > ∀≥

1 1 2 x x ⇒ −= ⇔ = .

Cách 2

Điều kiện 1 x ≥