Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 THPT năm 2019 sở GDĐT Quảng Ninh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ BÀI

Câu 1 (4 điểm). Cho hàm số 2 1 1 x y x    có đồ thị  C . Gọi M là điểm bất kì trên  C . Tiếp tuyến

của  C tại M cắt hai đường tiệm cận của  C tại A và B . Gọi I là giao điểm của hai

đường tiệm cận. Tìm trên  C tất cả các điểm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

Câu 2 (3 điểm) . Giải hệ phương trình:

3 2 6 4 3 2

6 4

3

ln 0

9 2 7 2 5 2 3

                 

x xy y y x xy e e y y

y x y y

.

Câu 3 (4 điểm).

a) Cho 2 3 7 log 3; log 5; log 2 a b c . Tính 280 log 441 theo , , a b c .

b) Có 2 nhà kho, nhà kho thứ nhất có 8 cái điều hòa tốt và 4 cái điều hòa hỏng. Nhà kho

thứ hai có 9 cái điều hòa tốt và 6 cái điều hòa hỏng ( Giả thiết các điều hòa ở hai nhà kho,

mỗi cái đựng trong hộp kín, nhìn bề ngoài không phân biệt được). Hùng vào mỗi nhà

kho lấy ra ngẫu nhiên 2 cái điều hòa. Tính xác suất để 4 cái điều hòa Hùng lấy được có ít

nhất 2 cái tốt.

Câu 4 (3 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có 3 góc đều nhọn và nội

tiếp đường tròn tâm I . Gọi K là hình chiếu vuông góc của B trên đường thẳng AC , H

là hình chiếu vuông góc của C trên đường thẳng BI . Đương thẳng AC và KH lần lượt

có phương trình 1 0 x y   và 2 1 0 x y   . Biết điểm B thuộc đường thẳng 5 0 y   ,

điểm I thuộc đường thẳng 1 0 x   . Tìm tọa độ điểm C .

Câu 5 (4 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a , tâm O . Biết SO

vuông góc với mặt phẳng( ) ABCD , 3 SB a  và 120 BAD  . Gọi M và N lần lượt là các

điểm thuộc các cạnh BC và SA sao cho 2 1 , 3 3 BM BC SN SA   .

a) Tính thể tích hình chóp . S MND theo a .

b) Gọi  là góc giữa đường thẳng MN và mặt phẳng ( ) SBD . Tính cos .

Câu 6 (2 điểm) . Cho các số thực   , , 1;4 a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

   

2

2 4 a b P c ab bc ca     

-------------------- HẾT --------------------

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THPT NĂM 2019 Môn thi: TOÁN - Bảng A Ngày thi: 03/09/2019 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

LỜI GIẢI CHI TIẾT

Câu 1. Cho hàm số 2 1 1 x y x    có đồ thị  C . Gọi M là điểm bất kì trên  C . Tiếp tuyến của  C

tại M cắt hai đường tiệm cận của  C tại A và B . Gọi I là giao điểm của hai đường

tiệm cận. Tìm trên  C tất cả các điểm M sao cho chu vi tam giác IAB nhỏ nhất.

Lời giải

TXĐ:  \ 1 D 

Ta có

 

2 1

1 y x

  

.

Ta có:    2 1 ; 1 1 m M C M m m m           

Tiếp tuyến của  C tại M có phương trình

   2 1 2 1 : 1 1

m y x m m m

       

.

 C có đường tiệm cận đứng 1 : 1 d x ; đường tiệm cận ngang 2 : 2 d y  .

Ta có   1 2 1;2 I d d I    .

Ta có 1 A d  Tọa độA là nghiệm của hệ

 

  2

1 1 1 2 1 2 1 1 1

x x m m y x m y m m m

                    

Suy ra 2 1; 1 m A m       

.

Ta có 2 B d  Tọa độB là nghiệm của hệ

 

  2

2 2 1 1 2 1 2 1 1

y x m m y x m y m m

                  

Suy ra   2 1;2 B m .

Ta có 2 ; 2 2 ; 1 IA IB m m        

2

2 1 2 1 1 AB m m    

Chu vi tam giác IAB là

   

2

2 1 1 2 1 1 1 1 IAB C IA AB BI m m m m                   

.

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 1 1 ; 1 m m   ta có

1 1 2 1 m m    (1)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương    

2

2 1 1 ; 1 m m  

ta có

       

2 2

2 2 1 1 1 2 1 2 1 1 m m m m         

(2)