Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HÀ TĨNH

(Đề thi có 1 trang gồm 9 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2019 - 2020

Môn thi: Toán

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số  2 3 2 x y C x x    

.

Tìm tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị  C của hàm số và có tung độ nguyên.

Câu 2 (2,5 điểm). Cho hàm số 

4 2 3 3 2 2 x y x C    .

Tìm tọa độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị  C sao cho tiếp tuyến của đồ thị  C tại M cắt  C tại

hai điểm phân biệt P, Q khác M thỏa mãn 3 MP MQ  với P nằm giữa Q và M.

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm:

   2 2 2 1 1 1 2 6 0 x x x x x x m x m             .

Câu 4 (2,0 điểm). Gọi S là tập nghiệm của phương trình     2 2log 9 1 3 0 x x x x m m      (với

m là tham số thực). Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên dương của m để tập hợp S có hai phần tử?

Câu 5 (2,0 điểm). Cho tứ diện ABCD có 5, 10, 13 AB CD AC BD AD BC       . Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD).

Câu 6 (3,0 điểm). Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có SA x = và tất cả các cạnh còn lại đều bằng 1. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo x và tìm x để thể tích đó lớn nhất.

Câu 7 (2,0 điểm). Cho hàm số  4 3 2 g x ax bx cx dx c     

có đồ thị như hình bên. Tìm số điểm cực tiểu của hàm số     f x g g x  .

Câu 8 (2,0 điểm). Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số đôi nột khác nhau. Chọn ngẫu nhiên một số từ S. Tính xác suất để số chọn được chia hết cho 15.

Câu 9 (2,0 điểm). Cho hàm số  2 2 2 2 1 9 3 2 2 2 2 1

x x x

x x x f x p q



         

. Tìm tất cả các giá trị của ,p q

để giá trị lớn nhất của hàm số  y f x  trên đoạn 1;1        là nhỏ nhất và tìm giá trị nhỏ nhất đó.

---------- HẾT ----------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI

Câu 1 (2,5 điểm). Cho hàm số  2 3 2 x y C x x    

.

Tìm tọa độ tất cả các điểm thuộc đồ thị  C của hàm số và có tung độ nguyên.

Hướng dẫn

+ Dễ thấy hàm số xác định với mọi x . Xem y là tham số, xét phương trình ẩn x sau:

  2 1 2 3 0 yx y x y      (*). Ta có 0 3. y x    Xét 0 y  thì phương trình (*) có nghiệm

khi và chỉ khi:   

2 2 7 2 14 7 2 14 1 4 2 3 0 7 14 1 0 7 7 y y y y y y              .

+ Yêu cầu   2; 1;0 y y     . Khi đó tọa độ các điểm cần tìm là   1 1; 2 , ; 2 2

            

,

   1 2; 1 , 1 2; 1     ,   3;0 .

Câu 2 (2,5 điểm). Cho hàm số 

4 2 3 3 2 2 x y x C    .

Tìm tọa độ tất cả các điểm M thuộc đồ thị  C sao cho tiếp tuyến của đồ thị  C tại M cắt  C

tại hai điểm phân biệt P, Q khác M thỏa mãn 3 MP MQ  với P nằm giữa Q và M.

Hướng dẫn

+ Giả sử tồn tại điểm

4 2 3 ; 3 2 2 m M m m            

thuộc đồ thị  C thỏa mãn bài toán. Tiếp tuyến của đồ

thị  C tại M là   

4 3 2 3 2 6 3 2 2 m y m m x m m       cắt  C tại P, Q khác M thỏa mãn

3 MP MQ  với P nằm giữa Q và M.

+ Từ đó suy ra  1 2 3 3 2 3 2 * MP MQ OP OQ OM x x m            

.

+ Mặt khác 1 2 , x x khác m là các nghiệm của phương trình:

    

4 4 2 2 3 2 4 3 4 3 3 3 2 6 3 4 3 6 2 2 2 2 x m x m m x m m x m x m x m             

 

2 2 6 2 , 3 x m m m     

2 1,2 6 2 x m m     . Thay vào (*) ta được 2 m  (thỏa

mãn). Vậy ta có hai điểm M cần tìm là 5 2; 2 M            

và 5 2; 2 M           

.

Lời bình:

Bài này giải tương tự đề thi học sinh giỏi tỉnh Khánh Hòa ngày 31/10 năm 2019.

Câu 3 (2,0 điểm). Tìm tất cả các giá trị m để phương trình sau có nghiệm: