Đề thi chọn HSG Toán 12 THPT năm học 2019 - 2020 sở GDĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2019 - 2020

ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. Cho hàm số 3 2 3 2     y x x mx có đồ thị là  . m C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để   m C có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng 1.   y x

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số cot 2 cot    x y x m đồng biến trên khoảng

0; . 4       

Câu 3. Giải phương trình: 3 1 8sin . cos sin   x x x

Câu 4. Cho dãy số   n u có số hạng tổng quát   2 ln 2   n u n n ,   * .  n Tính lim n S biết

1 2 . 1 1 1                     

n u

n

u u S e e e

Câu 5. Giải phương trình: 2 4 3 12 1 2 5.          x x x x x x

Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lấy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.

Câu 7. Cho hình lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là tam giác đều cạnh a, AA' = a. Hình chiếu vuông góc của A' trên mặt phẳng (ABC) trùng với trung điểm cạnh AB. Gọi I là trung điểm của A'C, điểm S thỏa mãn 2 .    IB SI Tính theo a thể tích khối chóp S.AA'B'B.

Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (P) đi qua trung điểm I của AG và cắt các đoạn AB, AC, AD tại các điểm khác A. Gọi A h , B h , C h , D h lần lượt là khoảng cách từ

các điểm A, B, C, D đến mặt phẳng (P). Chứng minh rằng:

2 2 2 2. 3    B C D A h h h h

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ Oxy, cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D là chân đường phân giác trong góc A. Gọi M, N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên AB, AC. Đường tròn 2 2 ( ):( 2) ( 1) 9     C x y ngoại tiếp tam giác DMN. Gọi H là giao điểm của BN và CM, đường thẳng AH có phương trình 3 10 0.    x y Tìm tọa độ điểm B biết M có hoành độ dương, A có hoành độ nguyên.

Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 1  abc và 3 3 1 2.     a b b a ab ab Tìm giá trị

lớn nhất của biểu thức 2 2 1 1 3 . 1 1 1 2       P a b c

---------- HẾT ----------

https://toanmath.com/

Thí sinh không được sử dụng tài liệu, máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ………………………………………………… Số báo danh: ……………….

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 NĂM HỌC 2019-2020 ĐỀ THI MÔN: TOÁN - THPT Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. Cho hàm số 3 2 3 2 y x x mx     có đồ thị là   m C . Tìm tất cả các giá trị thực của tham

số m để   m C có điểm cực đại và điểm cực tiểu cách đều đường thẳng  1 y x .

Câu 2. Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số 2 cotx y cotx m    đồng biến trên

khoảng 0; . 4       

Câu 3. Giải phương trình:   3 1 8sinx cosx sinx.

Câu 4. Cho dãy số   nu có số hạng tổng quát    2 ln 2 , * . n u n n n    Tính lim , n S biết

1 2 1 1 1 ... .

n u u u

n S e e e                      

Câu 5. Giải phương trình: 2 4 3 12 1 2 5 x x x x x x          .

Câu 6. Một hộp có 50 quả cầu được đánh số từ 1 đến 50. Lẫy ngẫu nhiên 3 quả cầu từ hộp đó. Tính xác suất để tích 3 số ghi trên 3 quả cầu lấy được là một số chia hết cho 8.

Câu 7. Cho hình lăng trụ . ABC A B C  có đáy là tam giác đều cạnh ,a AA a  . Hình chiếu

vuông góc của A trên mặt phẳng   ABC trùng với trung điểm cạnh . AB Gọi I là trung điểm

của , A C  điểm S thỏa mãn 2 . IB SI    Tính theo a thể tích khối chóp . . S AA B B 

Câu 8. Cho tứ diện ABCD có G là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng  P đi qua trung

điểm I của AG và cắt các đoạn , , AB AC AD tại các điểm khác A. Gọi , , , A B C D h h h h lần lượt

là khoảng cách từ các điểm , , , A B C D đến mặt phẳng  P . Chứng minh rằng:

2 2 2 2 3

B C D

A h h h h   

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ trục toạ độ , Oxy cho tam giác ABC vuông tại A. Điểm D là chân đường phân giác trong góc A. Gọi , M N lần lượt là hình chiếu vuông góc của D trên

, AB AC . …