Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GDĐT Yên Bái

Trang 1/11 - WordToan

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO YÊN BÁI

ĐÈ CHÍNH THỨC

ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI CẤP

TỈNH NĂM HỌC 2019 – 2020

MÔN THI: TOÁN Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề)

Câu I.

1. Cho hàm số 9. mx y x m    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng

( ;1)  .

2. Cho hàm số

3 2 ( ) 6 (9 ) 2 2. f x x x m x m       Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

( ) ( ) g x f x  có đúng 5 điểm cực trị.

Câu II.

Từ tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số mà các chữ số đều khác 0, lấy ngẫu nhiên một số. Tính xác suất để trong số tự nhiên lấy ra được chỉ có mặt ba chữ số khác nhau.

Câu III.

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:  

2

2 2 3

2 2 (1) (2) 5 7 7 4 6 1

y x y x y x x

xy y x y xy y

               Câu IV.

Cho hình chóp .S ABC có đáy là ABC  vuông tại B, 0 3, 60 , AB a ACB   hình chiếu vuông góc

của S lên mặt phẳng   ABC là trọng tâm của tam giác , ABC gọi E là trung điểm cạnh AC, biết góc

giữa SE và mặt phẳng đáy bằng 0 30 . a) Tính theo a thể tích khối chóp .S ABC và khoảng cách từ C đến mặt phẳng  . SAB

b) Tính góc giữa hai mặt phẳng   SAC và  . ABC

Câu V.

Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường tròn  O , có đường cao AD   D BC  . Kẻ DE, DF lần

lượt vuông góc với AB, AC   , E AB F AC   . , , BF CE I K BF DE     L CE DF   , hai

điểm M, N lần lượt là trung điểm của AD và AI. Chứng minh rằng:

a) Đường thẳng KL song song với đường thẳng BC.

b) M, N, O thẳng hàng.

Câu VI.

Cho các số thực dương , , x y z thoả mãn điều kiện 2 2 2 3 2 . x y z x y z xy Tìm giá trị

nhỏ nhất của biểu thức 20 20 . 2 P x y z x z y

Câu VII.

Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho

4 3 1 n n   là sốchính phương.

-------------- HẾT --------------

Trang 2/11 – Diễn đàn giáo viên Toán

HƯỚNG DẪN GIẢI CHI TIẾT

Câu I.

1. Cho hàm số 9. mx y x m    Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số nghịch biến trên khoảng

( ;1)  .

2. Cho hàm số

3 2 ( ) 6 (9 ) 2 2. f x x x m x m       Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

( ) ( ) g x f x  có đúng 5 điểm cực trị.

Lời giải

1. Tập xác định: D 

Ta có:

2

2 9 ' ( ) m y x m   

Hàm số nghich biến trên khoảng( ;1) y' 0, x 1     

2 3 3 9 0 3 1 1 ( ;1)

m m m m m

                

Vậy với 3 1 m   thì hàm số nghịch biến trên khoảng ( ;1)  .

2. Hàm số ( ) ( ) g x f x  có đúng 5 điểm cực trị  Hàm số ( ) f x có 2 điểm cực trị và . 0 CĐ CT y y 

Cách 1: Hàm số ( ) f x có 2 điểm cực trị và . 0 CĐ CT y y  Đồ thị hàm số ( ) f x cắt trục hoành tại

3 điểm phân biệt

3 2 6 (9 ) 2 2 0 x x m x m        có 3 nghiệm phân biệt

2 ( 2)( 4 1 ) 0 x x x m      có 3 nghiệm phân biệt 2 4 1 0 x x m     có 2 nghiệm phân biệt

khác 2 2 ' 3 0 3 2 4.2 1 0

m m m

           

Vậy với 3 m  thì hàm số ( ) ( ) g x f x  có đúng 5 điểm cực trị.

Cách 2: Hàm số ( ) f x có 2 điểm cực trị và . 0 CĐ CT y y 

Ta có

2 '( ) 3 12 9 f x x x m   

Hàm số ( ) f x có 2 điểm cực trị 1 2 , x x 2 '( ) 3 12 9 f x x x m     =0 có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x

' 3 9 0 3 m m     (1)