Đề thi HSG Toán 12 THPT chuyên năm học 2019 - 2020 sở GDĐT Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020

ĐỀ THI MÔN: TOÁN Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1.

a) Cho dãy số   nx được xác định bởi 1 1 x  và 1

2 3

n n

n

x x x 

   với mọi

*. n Chứng

minh rằng dãy số   nx có giới hạn hữu hạn, tìm giới hạn đó.

b) Tìm tất cả các hàm số xác định, liên tục trong khoảng   0; và thỏa mãn:



2 2 2 2 3 3 x x x f x f x x              với mọi 0. x 

Câu 2. a) Cho số tự nhiên 2 a  thỏa mãn 1 a  có ước nguyên tố lẻ.p Chứng minh rằng

 

2 2 1 . p a p  

b) Chứng minh rằng tồn tại vô số những số tự nhiên n sao cho   2019 1 . n n 

Câu 3. Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AH. Đường tròn nội tiếp  I của tam giác

ABC tiếp xúc với các cạnh , , BC CA AB lần lượt tại , , . D E F Đường tròn  A có tâm A bán

kính AE cắt đoạn thẳng AH tại điểm K. Đường thẳng IK cắt đường thẳng BC tại P. Các đường thẳng DK và PK cắt đường tròn  A lần lượt tại Q và T khác . K

a) Chứng minh rằng tứ giác TDPQ nội tiếp và ba điểm , , Q A P thẳng hàng.

b) Đường thẳng DK cắt đường tròn  I tại điểm thứ hai là X. Chứng minh rằng ba

đường thẳng , , AX EF TI đồng quy.

c) Chứng minh rằng đường tròn đường kính AP tiếp xúc với đường tròn . I

Câu 4. Cho  P x là một đa thức khác hằng số với hệ số thực sao cho tất cả các nghiệm

của nó đều là số thực. Giả sử tồn tại một đa thức  Q x với hệ số thực sao cho

     2 ( ) P x P Q x  với mọi . x Chứng minh rằng tất cả các nghiệm của đa thức  P x

đều bằng nhau.

Câu 5. Một tập hợp gồm 3 số nguyên dương được gọi là tập Pytago nếu 3 số này là độ dài ba cạnh của một tam giác vuông. Chứng minh rằng với hai tập Pytago , P Q bất kỳ, ta luôn tìm được m tập Pytago 1 2 , ,..., ( 2) m P P P m  sao cho 1 , m P P P Q   và 1 i i P P  với

mọi 1 1. i m  

------------ HẾT ------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

ĐỀ CHÍNH THỨC

Họ và tên thí sinh: ……….………..……................…… Số báo danh: ……………………………

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CHƯƠNG TRÌNH THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2019-2020 HƯỚNG DẪN MÔN: TOÁN I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài học sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN: Câu Ý Nội dung trình bày Điểm 1 a) Cho dãy số   nx được xác định bởi 1 1 x  và 1

2 3

n n

n

x x x 

   với mọi

*. n

Chứng minh rằng dãy số   nx có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Tìm tất cả các hàm số xác định và liên tục trong khoảng   0; sao cho



2 2 2 2, 0 3 3 x x x f x f x x x              

3,0

a Xét số b>0 là nghiệm của phương trình 2 3 1. 3 b b b b

      Dễ thấy

0, 1 nx n   nên ta có:

   1 2 2 1 0 3 3 3 3 9

n n n n

n n

x x b b x b x b x b x b               

1,0

Suy ra

2

1 1 1 1 1 1 0 9 9 9

n

n n n x b x b x b x b                

Do 1 1 lim 0 9

n x b      nên theo nguyên lý kẹp suy ra lim 3 1 nx b   

1,0

b Ta có  

2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 x x x x x f x f f x f x x x x x                           

Suy ra  2 2 , 0 3 3 x x f x x f x x x              

Đặt    2 , 0 (1) 3 x g x f x x g x g x x             

0,5

Chọn 0 a  tùy ý, xét dãy   nx xác định bởi

* 1 1 2 ; , 3

n n

n

x x a x n x       .

Hoàn toàn tương tự phần a) thì lim 3 1 nx b   

Từ (1) suy ra      

* 1 2 ... , n g a g x g x g x n     

0,25

Do hàm  g x liên tục trên   0; nên

       lim lim 3 1 n n g a g x g x g c     

Suy ra  g x c  hay ( ) f x x c   với mọi 0. x 

0,25

(Đáp án có 05 trang)