Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 năm 2019 - 2020 sở GDĐT Quảng Trị

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VĂN HÓA LỚP 12 THPT

QUẢNG TRỊ Khóa ngày 02 tháng 10 năm 2019

Môn thi: TOÁN

ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Câu 1. (5,0 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 5 . y x x   

2. Cho bất phương trình 2 1 8 8 7 . x x x x m        Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để bất phương trình nghiệm dùng với mọi [ 1;8]. x

Câu 2. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2 5 ( 5 1)( 1) . 2 1 1 x x x x x x x

       

2. Có hai dãy ghế đối diện nhau, mỗi dãy có bốn ghế. Xếp ngẫu nhiên 8 học sinh, gồm 4 nam và 4 nữ, ngồi vào hai dãy ghế đó sao cho mỗi ghế có đúng một học sinh ngồi. Tính xác suất để mỗi học sinh nam đều ngồi đối diện với một học sinh nữ.

Câu 3. (6,0 điểm)

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi với  0 60 ABC  , . BC a  Biết tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông tại C và nằm trong mặt phẳng hợp với mặt phẳng đáy một góc 0 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABCD và khoảng cách từ B đến mặt phẳng (SAD) theo a.

2. Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) có các đường cao AD, BE và CF đồng quy tại H. Gọi G là giao điểm BH và DF, L là giao điểm của BC và EF, O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCH, K là trung điểm của BC. Chứng minh H là trực tâm tam giác AKL và LG vuông góc AO.

Câu 4. (2,0 điểm)

Cho dãy số   nx thỏa mãn:

1

2

1

3

. 5 3 16 ( , 1) 4

n n n

x

x x x n n 

         

Tìm số hạng tổng quát của   nx và tính giới hạn của dãy số  . n

nx

Câu 5. (2,0 điểm)

Cho ba số thực , , 0 a b c  thoả mãn 5. a b c b c a   

Chứng minh rằng 17 1 4 2. 4

a b c c a b    

--------------- HẾT ---------------

(Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay)

HDG

Câu 1. (5 điểm) Thầy Tâm Nguyễn

1. Tìm giá trị lớn nhất của hàm số 2 5 y x x = − +

Lời giải

Hàm số có nghĩa khi: [ ] 2 5 0 0;5 x x x − + ≥ ⇔ ∈

/

2 2 5

5

x y

x x

− + = − + , cho [ ] /

2 2 5 5 0 0 0;5 2 5

x y x x x

− + = ⇔ = ⇔ = ∈ − +

Ta có: ( ) ( )

[ ] 0;5

0 0

5 5 0 2 5 5 2 2

f

f y

f

  =  = ⇒ =      =      

max .

2. Cho bất phương trình 2 1 8 8 7 x x x x m + + − + + − ≤ . Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi [ ] 1;8 x∈−

Lời giải

2 1 8 8 7 x x x x m + + − + + − ≤ (1)

Đặt 1 8 t x x = + + − ; với điều kiện 1 8 x −≤ ≤

( )

/ 7 2

2. (1 x)(8 x) 8 1

x t

x x

− ⇒ =

+ − − + +

/ 7 Cho 0 3 2 2 ( 1) (8) 3

t x t

t t

= ⇔ = ⇒=

− = =

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên

3 3 2 t ⇒ ≤≤

Khi đó

2 (1) 9 3;3 2 2 t m t t −   ⇒ ≥+ ∀∈ 

2 / 9 (t) (t) 1 0 3;3 2 2 t f t f t t −   = + ⇒ = + ≥∀∈ 

Suy ra f(t) đồng biến trên 3;3 2    

3;3 2

9 6 2 max (t) (3 2) 2 m f f    

+ ≥ = = .

Câu 2. (5,0 điểm) Thầy Cao Văn Kiên – Trương Đức Thịnh

1) Giải phương trình ( )( ) 2 5 1 1 5 . 2 1 1

x x x x x x x

+ − − + − = − −−

Lời giải

Điều kiện: 1 . 2 x x

≥  ≠ 

Ta có ( )( ) 2 5 1 1 5 2 1 1

x x x x x x x

+ − − + − = − −−

( )( )

( )( )

2 5 1 1 5 2 2 1 1

x x x x x x x x

+ − − + − ⇔ = − − −+

(vì 1 1 0 x −+ > )

( )( ) 2 5 1 1 5 1 1

x x x x x x

+ − − ⇒ + − = −+

2 5 5 1 1 1 1 x x x x x x + − + − ⇒ = − −+

(Do 1 x = không là nghiệm của phương trình)

( ) ( ) ( )

( )

2 2 1 5 1 1 2 5 2 1 2 1 1 1

x x x x x x

− + −+ − + − + ⇒ = − + −+ (*)

Xét hàm số ( ) ( )

2 5 1, 1; . 1 t t f t t t + + = ∈−+∞ +

Có ( ) ( )

( ) ( )

( )

2 2

2 2 1 3 2 4 0, 1; 1 1

t t t f t t t t

+ + + + ′ = = > ∀∈−+∞ + + .

( ) f t ⇒ đồng biến trên ( ) 1; −+∞.

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 * 2 1 2 1

2 1

x f x f x x x

x x

≥  ⇔ − = − ⇔ − = −⇔ − = − 