Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm 2019 - 2020 sở GDĐT Ninh Bình

SỞ GD&ĐT NINH BÌNH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2019 - 2020

ĐỀ THI CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN

Ngày thi: 11/09/2019

Thời gian làm bài: 180 phút – không kể thời gian phát đề

Đề thi gồm 04 câu trong 01 trang

Câu 1. (5.0 điểm) Tìm , , x y z nguyên thỏa mãn hệ phương trình:

3 2

3 2

3 2

4 16 60

4 16 60

4 16 60

x x x y

y y y z

z z z x

                

Câu 2. (5.0 điểm)

Xét phương trình: 2 1 nx x x   , n, 2. n 

a) Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n lớn hơn 2 phương trình trên có đúng một nghiệm dương duy nhất.

b) Gọi nx là nghiệm dương duy nhất của phương trình trên. Tính lim . nx

Câu 3. (5.0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC , đường cao AD ( D thuộc BC ) và hai điểm M, N lần lượt nằm trên các cạnh AB, AC sao cho MN song song với BC. Điểm P chuyển động trên đoạn thẳng MN. Lấy các điểm E, F sao cho EP AC  , EC BC  , FP AB  , . FB BC 

a) Gọi I là giao của EF và AD. Chứng minh rằng I cố định khi P chuyển động trên đoạn MN.

b) Đường thẳng qua A vuông góc với EF cắt BC tại Q. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng BC đi qua trung điểm của đoạn thẳng PQ.

Câu 4. (5.0 điểm)

Cho số nguyên dương n và tập hợp   1;2;...; S n  . Tìm số các tập con của S không chứa

hai số nguyên dương liên tiếp.

---------- HẾT ----------