Đề thi học sinh giỏi Toán THPT cấp tỉnh năm 2018 - 2019 sở GDĐT Hậu Giang

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT TỈNH HẬU GIANG NĂM HỌC 2018 – 2019 KHÓA NGÀY 19/4/2019 MÔN TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Câu I: (5,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 ( 1) 1 5 3 4 1 x x x x x x trên tập số thực.

2) Giải hệ phương trình

3 3

2 2

9

2 4

x y

x y x y

   

   

(với , ). x y

Câu II: (3,0 điểm)

1) Cho hàm số * * : f thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau:

 (2) 2; f

 ( ) ( ) ( ); , ; f mn f m f n m n

 ( ) ( ), . f m f n m n

Tính (1) f và (6). f Tìm ( ) f n theo .n

2) Tìm các số nguyên a và b thỏa mãn phương trình 3 3 2 ( ) . a b a b

Câu III: (4,0 điểm) 1) Cho hai số thực dương ,x y thỏa mãn điều kiện 1. x y

Chứng minh rằng 1 1 4 . x y x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 4 . P xy x y xy

2) Cho dãy số ( ) nu được xác định như sau 1 2 4; 5 u u và 2 2 1 ( 1) , n n n u u n u với , 1. n n

Tính 3u và 4. u Tìm số hạng tổng quát nu của dãy số trên. Câu IV: (6,0 điểm) 1) Gọi S là tập hợp tất cả các số nguyên dương n thỏa mãn 2 tính chất sau:

 Các chữ số của n là khác nhau.

 Các chữ số của n thuộc tập hợp {0; 1; 3; 5; 7}.

a) Tính số phần tử của .S b) Chọn ngẫu nhiên một số m thuộc .S Tính xác suất để m có 4 chữ số và m chia hết cho 6.

2) Cho tứ giác lồi ABCD nội tiếp trong đường tròn ( ). O Gọi I là điểm trên cạnh BD sao cho . DAI BAC 

a) Chứng minh rằng ADI ACB   và . ABI ACD  

b) Chứng minh rằng . . . . ABCD AD BC AC BD  

Câu V: (2,0 điểm)

Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh ; a SA vuông góc với mặt phẳng

đáy và 3. SC a  Gọi ( )  là mặt phẳng đi qua A và ( )  vuông góc với . SC Tính theo a diện tích thiết diện của hình chóp . S ABCD cắt bởi mặt phẳng ( ). 

...........................HẾT........................... Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề thi gồm 01 trang)

SỞ GD& ĐT HẬU GIANG

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH CẤP THPT

NĂM HỌC 2018 - 2019 HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ CHÍNH THỨC

Môn: TOÁN THPT (Hướng dẫn chấm gồm 05 trang)

I. Hướng dẫn chung 1. Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định. 2. Việc chi tiết hóa thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. 3. Điểm bài thi là điểm sau khi cộng điểm toàn bài thi và không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm

Câu Nội dung Điểm

Câu

I.1 (2,0 điểm)

1) Giải phương trình 2 ( 1) 1 5 3 4 1 x x x x x x trên tập số thực. 2,0

Điều kiện: 1 5. x   0,25

Ta có 2 ( 1) 1 5 3 4 1 x x x x x x

2 ( 1) 1 ( 1) 2 5 3 3 x x x x x x x x

0,25

2 ( 1)( 1 1) (2 5 ) 3 3 0 x x x x x x 0,25

( 1) ( 1) 3 ( 1) 0 1 1 2 5 x x x x x x x x

0,25

( ) ( 1) 0

1 1 ( ) 3 0 1 1 2 5

f x x x

g x

x x

0,25

Ta có 0 ( ) 0 1 x f x x

    

(nhận). 0,25

Do 1 1 1 x và 2 5 2 x nên 1 1 2. 1 1 2 5 x x

0,25

Do đó   ( ) 0, 1;5 . g x x   Do đó, phương trình ( ) 0 g x  vô nghiệm. 0,25

Câu

I.2 (3,0 điểm)

2) Giải hệ phương trình

3 3

2 2

9

2 4

x y

x y x y

   

   

(với , ). x y 3,0

Ta có

3 3 3 3

2 2 2 2 9 (1) 9 0 . 2 4 (2) 3 6 3 12 0

x y x y

x y x y x y x y

                      

0,25

Lấy phương trình thứ nhất trừ cho phương trình thứ hai theo vế, ta được:

3 2 3 2 3 3 1 6 12 8 0 x x x y y y       0,25

3 3 ( 1) ( 2) 0 x y      0,5 1 2 x y    0,25

3 y x   0,25

Thay 3 y x  vào (2), ta có 2 3 2 0 x x    0,5 1 x   hoặc 2 x  (nhận). 0,5

Vậy nghiệm của hệ phương trình là 1

2 x

y

    

hoặc 2. 1

x

y

    

0,5