Đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 - 2019 sở GDĐT Bến Tre

NHÓM TOÁN VD – VDC

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 1

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

Ngày thi : 27/02/2019

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2018 - 2019

MÔN: TOÁN – Hệ : THPT

Thời gian: 180 phút

Họ và tên: .......................................................................................... SBD: ................................................. .

Câu 1 (8 điểm).

a) Giải phương trình: 2.sin 2 6.sin 1 4 4 x x                  

.

b) Giải hệ phương trình:

 

     2

2 . 2 0

1. 1 3 1 3

y x x y

x y y x y x

             

với ,x y .

c) Cho hàm số 1 2 1 x y x    có đồ thị  C . Viết phương trình tiếp tuyến  d của đồ thị  C biết

 d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho 10. AB OA  (với O là gốc tọa độ).

Câu 2 (4 điểm).

a) Bạn An có đồng xu mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 1 3 và bạn Bình có đồng xu

mà khi tung có xác suất xuất hiện mặt ngửa là 2 5 . Hai bạn An và Bình lần lượt chơi trò chơi tung

đồng xu của mình đến khi có người được mặt ngửa ai được mặt ngửa trước thì thắng. Các lần tung

là độc lập với nhau và bạn An chơi trước. Xác suất bạn An thắng là p q trong đó p và q là các số

nguyên tố cùng nhau, tìm q p  .

b) Tìm hệ số của số hạng chứa 2x trong khai triển nhi thức 4 1 2

n x x       

biết rằng n là số nguyên

dương thỏa:   1 2 3 1 2 3 ... 1 64 n n n n n n n C C C n C nC n         .

Câu 3 (4 điểm).

a) Trong không gian cho 4 điểm , , , A B C D thỏa mãn 3, 7, D 11, 9 AB BC C DA     .

Tính . AC BD . b) Cho các số thực không âm , , a b c thỏa mãn 2 2 2 3 0 a b c b     . Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức

      2 2 2 1 4 8

1 2 3 P a b c      

.

Câu 4 (4 điểm).

Cho hình chóp . S ABC , có SAvuông góc với mặt phẳng   ABC , 2 SA a  và tam giác ABC

vuông tại C với 2 AB a  30 BAC  . Gọi M là điểm di động trên cạnh AC , đặt , AM x    0 3 x a   . Tính khoảng cách từ S đến BM theo a và x . Tìm các giá trị của x để khoảng

cách này lớn nhất.

----- HẾT -----

NHÓM TOÁN VD – VDC

https://www.facebook.com/groups/toanvd.vdc Trang 2

NHÓM TOÁN VD – VDC

SỞ GD&ĐT BẾN TRE

ĐỀ CHÍNH THỨC

HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2018 - 2019

Câu 1 (8 điểm).

a) Giải phương trình: 2.sin 2 6.sin 1 4 4 x x                  

.

b) Giải hệ phương trình:

 

     2

2 . 2 0

1. 1 3 1 3

y x x y

x y y x y x

             

với ,x y .

c) Cho hàm số 1 2 1 x y x    có đồ thị  C . Viết phương trình tiếp tuyến  d của đồ thị  C biết

 d cắt trục Ox , Oy lần lượt tại A , B sao cho 10. AB OA  (với O là gốc tọa độ). Lời giải

a) Ta có:   2.sin 2 6.sin 1 sin 2 cos2 3. sin cos 1 0 4 4 x x x x x x                                2 2 2 sin cos sin cos 3 sin cos 0 sin cos 2sin 3 0 x x x x x x x x x           

4 sin 0 sin cos 0 4 2 3 2sin 3 0 3 sin 2 2 2 3

x k x x x x k x x x k

    

 

                                   

.

Vậy phương trình có 3 họ nghiệm là: 2 , 2 , 2 4 3 3 x k x k x k             , với k  .

b) Giải hệ phương trình:

  

     2

2 . 2 0 1

1. 1 3 1 3 2

y x x y

x y y x y x

             

.

* Điều kiện:

2

1 0

3 0

x y

x y x

        

.

- Đặt

2

2 2 1 2

0

a x x a

y b b y

                 

.

Khi đó 1 trở thành:         2 2 2 2 0 2 0 b a b a ab b a b a         

     2 0 do 2 0 b a ab a b ab        

2 2 x y y x       .

- Thay vào phương trình  2 ta được phương trình:

     2 1. 2 1 1 . 1 2 2 x x x x x        

         

2 1. 1 1 1 1 . 1 1 1 x x x x            3 .

- Nếu 1 x  thì  3 vô nghiệm.