Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 - 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 2)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề này có 01 trang)

KÌ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA

NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 19/10/2018

Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên:   3 3 2 2 2 2 4 1. x y x y xy x xy y       

Bài 2. (5 điểm)

Cho , 0; 2 x y       

. Chứng minh rằng:

  2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 . sin sin 1 sin cos 1 cos 1 2 sin sin2 sin 2 sin sin2 cos x y x y x x y x y x y        

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB AC  và nội tiếp đường tròn . O Phân giác trong góc

 BAC cắt  O tại điểm D khác A, lấy E đối xứng B qua AD , đường thẳng BE cắt  O

tại F khác B. Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC (G khác , A C ), đường thẳng BG

cắt  O tại H khác . B Đường thẳng qua C song song AH cắt FD tại I . Đường tròn

ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt , K L. Chứng minh rằng đường

trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua một điểm cố định.

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong

các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử thuộc tất cả

2018 tập hợp đã cho.

------------ HẾT -------------

(Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.)

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . .

ĐÁP ÁN KỲ THI THÀNH LẬP ĐỘI TUYỂN HSG

LỚP 12 THPT DỰ THI QUỐC GIA – Năm học 2018 – 2019

LỜI GIẢI TÓM TẮT

ĐIỂM

Bài 1. (5 điểm)

Giải phương trình nghiệm nguyên:   3 3 2 2 2 2 4 1. x y x y xy x xy y       

Nhận xét: x y  0,5

  2 2 2 4 1 x y xy    

0,5

     3 3 2 2 2 2 2 2 4 1 4 4 1 x y x y xy x xy y x y x y xy             0,5

   2 2 2 4 1 2 4 4 1 4 xy x y x y xy x y           1,5

2 4 3;4;5 x y x y        0,5

3 x y   không thỏa 0,5 4 x y   không thỏa 0,5 5 x y   tìm được 1; 4 x y   hoặc 4; 1 x y   0,5 Bài 2. (5 điểm)

Cho , 0; 2 x y       

. Chứng minh rằng:

  2 2 2 2 2 2 1 1 1 9 . sin sin 1 sin cos 1 cos 1 2 sin sin2 sin2 sin sin2 cos x y x y x x y x y x y        

Đặt sin sin , sin cos , cos a x y b x y c x    thì , , 0 a b c  và 2 2 2 1 a b c    1,0

Ta cần chứng minh

  2 2 2 1 1 1 9 . 1 1 c 1 4 a b ab ac bc        

0,5

Thật vậy,

         2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 c 1 a b a b a c b c b a c a c b              

     

2 a b c a b a c b c      

1,0

Mà        a b a c b c a b c ab ac bc abc         

         1 8 9 9 a b c ab ac bc a b c ab ac bc a b c ab ac bc               

1,0

Nên

  2 2 2 1 1 1 9 . 1 1 c 1 4 a b ab ac bc        

1,0

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

1

3 a b c     1 1 arccos , 4 3 3 a b c x y       

0,5

Bài 3. (5 điểm)

Cho tam giác ABC có AB AC  và nội tiếp đường tròn . O Phân giác trong góc

 BAC cắt  O tại điểm D khác A, lấy E đối xứng B qua AD , đường thẳng BE

cắt  O tại F khác B. Lấy điểm G di chuyển trên cạnh AC (G khác , A C ),

đường thẳng BG cắt  O tại H khác . B Đường thẳng qua C song song AH cắt

FD tại I . Đường tròn ngoại tiếp tam giác BCG cắt EI tại hai điểm phân biệt

, K L. Chứng minh rằng đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua một điểm

cố định.

Gọi giao điểm của đường thẳng EI và BC là J . 0,5 DF là trục đối xứng của EC 1,0     CEJ ECI HAC HBC    nên tứ giác BGEJ nội tiếp 1,5

Phép nghịch đảo . . k CE CG CJ CB C N   biến đường tròn ( ) BCG thành đường thẳng EJ nên biến , K L thành chính nó.

1,0

Do đó 2 2 CK CL k   hay đường trung trực đoạn thẳng KL luôn đi qua điểm C cố định.

1,0

Bài 4. (5 điểm)

Cho 2018 tập hợp mà mỗi tập chứa đúng 45 phần tử. Biết rằng hai tập tùy ý trong

các tập này đều có đúng một phần tử chung. Chứng minh rằng tồn tại phần tử

thuộc tất cả 2018 tập hợp đã cho.

Lấy tập A tùy ý, trong A sẽ có phần tử a thuộc ít …