Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm 2018 - 2019 sở GD và ĐT Bình Thuận (Vòng 1)

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH THUẬN

ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề này có 01 trang)

KÌ THI CHỌN HSG CẤP TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2018 – 2019

Ngày thi: 18/10/2018

Môn: Toán Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Bài 1 (6,0 điểm).

a) Cho x và y là các số thực thỏa mãn 2 0. x y   Tìm giá trị lớn nhất và giá trị

nhỏ nhất của biểu thức

2

2

2

2 . x xy y P x xy y     

b) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số

3 2 3 3 y x x mx m     có hai điểm cực trị nằm khác phía đối với trục hoành.

Bài 2 (5,0 điểm).

a) Tìm số hạng tổng quát của dãy số   n u biết 1 2 u  và 1 2 5, n n u u   *. n 

b) Cho dãy số   nv thỏa mãn 1

1 , 2018 v  1 2 2 , 1 2018

n n

n v v v 

*. n  Chứng minh

rằng * 1 , . n nv v n  

Bài 3 (4,0 điểm). Giải hệ phương trình

  2 2

2 2 2 2 2 1

. 1 1

xy x y x y

x y y x x y x

 

   

  

Bài 4 (5,0 điểm). Cho tam giác ABC nhọn có AB AC  và hai đường cao , BE CF cắt

nhau tại . H Các đường tròn   1 , O   2 O cùng đi qua A và theo thứ tự tiếp xúc với

BC tại , . B C Gọi D là giao điểm thứ hai của   1 O và   2 . O

a) Chứng minh đường thẳng AD đi qua trung điểm của cạnh ; BC

b) Chứng minh ba đường thẳng , EF , BC HD đồng quy.

-------------- HẾT -------------

Học sinh không được sử dụng máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không được giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . . . .

HƯỚNG DẪN CHẤM

Bài Nội dung Điểm 1 6,0 a

Ta có

2

2

1, 1 t t P t t    với 1 . 2 x t y  

Xét hàm số

2

2

1 ( ) 1 t t f t t t    với 1. 2 t 

Tính được

2

2 2 2 2 (t) , ( 1) t f t t

   

( ) 0

1. 1 2

f t

t t

     

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị nhỏ nhất của P bằng 1

3 , không có giá trị lớn nhất.

0,5

0,5

1,0

0,5

0,5

b Tập xác định D 

2 ' 3 6 3 y x x m    Yêu cầu bài toán  Phương trình ' 0 y  có hai nghiệm phân biệt

1 2 , x x thỏa mãn     1 2 . 0. y x y x 

Phương trình 0 y có hai nghiệm phân biệt 1 0 m   (*) Khi đó đồ thị hàm số đã cho có hai điểm cực trị là

    1 1 2 2 ; , ; . A x y B x y

Ta có   1 . 2 1 3 3 x y y m x           

Do đó     1 1 1 2 1 y y x m x   

    2 2 2 2 1 y y x m x   

     

2 1 2 1 2 . 0 4 1 . 0 y x y x m x x    

1 2 . 0 0 0 x x m m       Kết hợp với điều kiện (*) ta có 0 m  thỏa mãn bài toán

0,25

0,5

0,25

0,25

0,25

0,25

0,5

0,5 0,25

2 5,0 a *, n  ta có   1 1 2 5 5 2 5 n n n n u u u u        

Đặt * 5, . n n w u n   

Khi đó * 1 2 , . n n w w n  

Do đó   n w là cấp số nhân có 1 1 5 7, w u    công bội 2. q 

Suy ra 1 1 * 1. 7.2 , . n n n w w q n     

Vậy 1 * 7.2 5, . n n u n    

0,5

0,5 0,5

0,5

0,5

b Chứng minh được * 0, . nv n  

Khi đó * 1 2 2 2 1 , . 1 2108 2 2018. 2018

n n n

n n

v v v n v v       (1)

Mặt khác, *, n  ta có

  2 3

1 2 2 2 1 2018 2 2018 0 1 2018 1 2018 1 2018

n n n n n n n n n n n

v v v v v v v v v v v 

          

0,5

1,0

1,0