Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp tỉnh năm 2018 - 2019 sở GD và ĐT Gia Lai

Vũ Ngọc Thành Latex hóa

KỲTHI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH GIA LAI 2018-2019 MÔN THI: TOÁN 12-BẢNG B Thời gian làm bài: 180 phút, không kểthời gian phát đề

Câu 1. Cho hàm sốy = 2x + 1

x−1 có đồthị(H) và đường thẳng d : y = (m2 +1)x−2 (với m là

tham số). Tìm tất cảgiá trịcủa m đểd cắt (H) tại hai điểm phân biệt có hoành độx1,x2 sao cho biểu thức P = 12(x1 + x2)+11x1x2 đạt giá trịlớn nhất.

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải Phương trình hoành độgiao điểm của (H) và d là

2x+1

x−1 = (m2 +1)x−2 ⇔(m2 +1)x2 −(m2 +5)x+1 = 0

(do x = 1 không là nghiệm phương trình) Đường thẳng d cắt (H) tại hai điểm phân biệt

⇔(m2 +5) 2 −4(m2 +1) > 0 ⇔(m2 +3) 2 +12 > 0

Suy ra ∀m ∈R thì d luôn cắt (H) tại hai điểm phân biệt.

Ta có x1 + x2 = m2 +5

m2 +1;x1.x2 = 1 m2 +1

P = 12(x1 + x2)+11x1.x2 = 12 àm2 +5

m2 +1

¶ +11 µ 1 m2 +1

¶ = 12+ 59 m2 +1 ≤71

Do đó P đạt giá trịlớn nhất là 71 khi m = 0. Vậy m = 0 là giá trịcần tìm. □

Câu 2. Giải các phương trình sau trên tập hợp các sốthực

1. x4 −6x3 +6x2 +9x = 2 p

x2 −3x .

2. 7x −6log7(6x+1)−1 = 0 .

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải

1. x4 −6x3 +6x2 +9x = 2 p

x2 −3x ⇔(x2 −3x)2 −3(x2 −3x)−2 p

x2 −3x = 0 Đặt t = p

x2 −3x , t ≥0 , phương trình trởthành t4 −3t2 −2t = 0 ⇔t = 0;t = 2;t = −1 (loại) Với t = 0 suy ra x = 0, x = 3 Với t = 2 suy ra x = −1, x = 4 Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm x = 0, x = 3 ,x = −1, x = 4

1

Vũ Ngọc Thành Latex hóa

2. Điều kiện x > −1

6 . Đặt y = log7(6x+1) , khi đó 7y = 6x+1 .

Kết hợp với phương trình đã cho ta có hệ

( 7x = 6y+1

7y = 6x+1 .

Suy ra 7x −7y = 6y−6x ⇔7x +6x = 7y +6y (1). Xét hàm sốf (t) = 7t +6t . Ta có f ′(t) = 7t ln7+6 > 0,∀t ∈R nên hàm sốf đồng biến trên R . Do đó (1) ⇔f (x) = f (y) ⇔x = y . Suy ra 7x −6x−1 = 0 (*)

Xét hàm sốg(x) = 7x −6x−1 trên khoảng µ −1

6;+∞ ¶ .

Ta có g′(x) = 7x ln7−6; g′′(x) = 7x(ln7)2 > 0 nên đồthịhàm sốg lõm trên khoảng µ −1

6;+∞ ¶

. Do đó (*) có không quá hai nghiệm thuộc µ −1

6;+∞ ¶

Mà g(0) = 0, g(1) = 0 nên x = 0, x = 1 là tất cảcác nghiệm của (*). Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 0, x = 1.

□

Câu 3. Tìm hệsốcủa sốhạng chứa x5 trong khai triển (1+ x+ x2)n , biết n là sốtựnhiên thỏa mãn hệthức C0 2n +C2 2n +C4 2n +···+C2n 2n = 512 .

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải Ta có

C0 2n +C2 2n +C4 2n +ããã+C2n 2n = 512 ⇔ 1 2.(C0 2n +C1 2n +C2 2n +ããã+C2n 2n) = 512

⇔ 1 2.22n = 512

⇔ n = 5

(1+ x+ x2)5 = [1+ x(1+ x)]5 = 5X

k=0 Ck 5xk(1+ x)k = 5X

k=0

à kX

i=0 Ck 5Ci kxk+i !

, (i,k ∈N, i ≤k)

Vì sốhạng chứa x5 nên

( i + k = 5

i,k ∈N, i ≤k , giải ra ta được

( i = 0

k = 5 ;

( i = 1

k = 4 ;

( i = 2

k = 3 Hệsốcần tìm là C5 5C0 5 +C1 4C4 5 +C2 3C3 5 = 51 □

Câu 4. Cho tam giác ABC có AB = c,BC = a,CA = b , ha là độdài đường cao xuất phát từđỉnh A và b + c = a

2 + ha p

3 . Chứng minh rằng tam giác ABC đều.

STRONG TEAM TOÁN VD-VDC-ĐỀTHI-CHUYÊN ĐỀ

Lời giải

2