Đề thi chọn HSG Toán 12 cấp cơ sở năm học 2018 - 2019 sở GD và ĐT Điện Biên

ĐỀ VÀ HDG HỌC SINH GIỎI 12 ĐIỆN BIÊN 2018-2019

Câu 1: (6,0 điểm)

1. Cho hàm số 2 3 ( ) 1 − = − x y C x

và đường thẳng : 1 0 − −= d x y . Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến đó song song với d.

2. Tìm m để hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 2 = − + − + + y x mx m x m đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞.

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )

2

4 4 2sin

sin cos 2 2

= +

x f x x x .

2. Giải hệ phương trình ( ) ( )

3 3 2 2 3 2 2 15 10 0 ; 2 3 2 2

 − − − + + − =  ∈  − + − = − 

ℝ x y x y y x x y y x x .

Câu 3: (4,0 điểm) 1. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau được chọn từ các số

0;1;2;3; 4;5;6;7;8;9 . Xác định số phần tử của S . Chọn ngẫu nhiên một số từ S ,

tính xác suất để số được chọn là số chẵn.

2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho hai điểm ( ) ( ) 0;9 , 3;6 A B . Gọi D là miền nghiệm của hệ

phương trình 2 0

6 3 5 0

 − + ≤  + + ≥ 

x y a

x y a . Tìm tất cả các giá trị của a để ⊂ AB D .

Câu 4: (4,0 điểm) 1. Cho hình chóp SABC . Trên các đoạn thẳng , , SA SB SC lần lượt lấy các điểm ', ', ' A B C khác

với điểm S . Chứng minh rằng: .

. ' ' ' . . ' ' ' = S ABC

S A B C

V SA SB SC V SA SB SC

2. Cho hình chóp tứ giác đều .S ABCD , có , 3 = = AB a SA a . Gọi O là giao điểm của AC và

BD , G là trọng tâm tam giác SCD .

a) Tính thể tích khối chóp . . S OGC

b) Tính khoảng cách từG đến mặt phẳng ( ) SBC .

c) Tính cosin góc giữa hai đường thẳng SAvà BG .

Câu 5: (2,0 điểm)

1. Cho phương trình ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 6 1 0 1 + + − + − −= m x x x m x . Tìm các giá trị của m để

phương trình ( )1 có nghiệm thực.

2. Cho đa thức ( )

4 3 2 1 = + + + + f x x ax bx ax

có nghiệm thực. Chứng minh rằng

2 2 4 1 0 + − + > a b b .

HDG

Câu 1: (6,0 điểm)

1. Cho hàm số 2 3 ( ) 1 − = − x y C x

và đường thẳng : 1 0 − −= d x y . Viết phương trình tiếp tuyến

của đồ thị ( ) C biết tiếp tuyến đó song song với d.

2. Tìm m để hàm số ( ) 3 2 2 3 3 1 2 = − + − + + y x mx m x m đồng biến trên khoảng ( ) 2;+∞.

Tập xác định: . ℝ

Lời giải

1. : 1 0 : 1 − −= ⇒ = −⇒ d x y d y x d có hệ số góc 1. = dk

Xét hàm số 2 3 ( ) 1 − = = − x y f x x :

+ Tập xác định { } \ 1 . = ℝ D

+

( )

/ 2 1 ( ) , x 1. 1 = ∀≠ − f x x

Gọi ∆ là tiếp tuyến của ( ) C tại 0 0 0

2 3 x ; 1

  −        −  

x M x thì ∆: / 0 0 0 0

2 3 ( )( ) 1 − = − + − x y f x x x x

+ Giả sử / / ∆ d ta được

( )

0 / 0 2 0 0

0 1 ( ) 1 2 1

 =  = ⇔ = ⇔ = −  d x f x k x x .

+ Thử lại:

0 0 : 3 = ⇒∆ = + i x y x thỏa mãn / / ∆ d .

0 2 : 1 = ⇒∆ = −⇒ i x y x . ∆≡d Trường hợp này không thỏa mãn.

Vậy có đúng một tiếp tuyến của ( ) C thỏa đề, đó là : 3. ∆ = + y x

2. 2 / 2 3 6 3( 1), x = − + − ∀∈ℝ y x mx m

/ 1 0 1

= −  = ⇔= − 

x m y x m : Hai nghiệm phân biệt với mọi . m

Bảng biến thiên

Hàm số đồng biến trên ( ) ( ) ( ) 2; 2; 1; 1 2 1. +∞⇔ +∞⊂ + +∞⇔ + ≤ ⇔ ≤ m m m

Vậy m cần tìm là 1. ≤ m

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số ( )

2

4 4 2sin

sin cos 2 2

= +

x f x x x .

2. Giải hệ phương trình ( ) ( )

3 3 2 2 3 2 2 15 10 0 ; 2 3 2 2

 − − − + + − =  ∈  − + − = − 

ℝ x y x y y x x y y x x .

Lời giải

1. Ta có

2 4 4 2 2 2 1 2 sin sin cos 1 2sin cos 1 sin 0, . 2 2 2 2 2 2 − + = − = − = ≠ ∀ x x x x x x x

Cách 1:

Khi đó ( )

2

2 2 4sin 8 4 2 sin 2 sin = = − − − x f x x x .

Vì 2 2 0 sin 1 1 2 sin 2 ≤ ≤⇒≤− ≤ x x nên 2 8 4 8 2 sin ≤ ≤ − x . Do đó ( ) 0 4 ≤ ≤ f x .

Ta có ( ) ( ) 2 0 sin 0 sin 0 = ⇔ = ⇔ = ⇔ = ∈ℤ f x x x x k k π ,

( ) ( ) 2 4 sin 1 sin 1 2 2 = ⇔ = ⇔ = ± ⇔ = ± + ∈ℤ f x x x x k k π π .

Vậy giá trị nhỏ nhất của ( ) f x là 0 đạt được khi ( ) = ∈ℤ x k k π ,

giá trị lớn nhất của ( ) f x là 4 đạt được khi ( ) 2 2 = ± + ∈ℤ x k k π π .

Cách 2: Đặt 2 sin = x t , Điều kiện [ ] 0;1 ∈ t

2. Điều kiện: 3

2

≤ ≤ 

x

y .

Phương trình thứ nhất của hệ tương đương với:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 3 2 3 2 1 3 1 1 − + − = − + − x x y y

y2 y1 +∞

-∞

+ + _ 0 0

+∞ -∞ m+1 m-1

y

y'

x