Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 12 THPT năm 2018 - 2019 sở GD và ĐT Thái Bình

1

NHÓM TOÁN VD_VDC

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 12 TỈNH THÁI BÌNH NĂM HỌC 2018-2019

Câu 1: (6,0 điểm).

1. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y C x + = − và đường thẳng ( ) d có phương trình: 2 y x m = + . Tìm m để

đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho diện tích tam giác OAB

bằng 5 4 (với O là gốc tọa độ).

2. Cho hàm số 3 2 2( 1) (8 3) 8 6 y x m x m x m = + + + − + − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu

trong đó một điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ hai, một điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ tư của hệ trục tọa độ Oxy .

3. Tính giới hạn: ( ) 2018 2 0 log 2 os2 lim x c x

x → − .

Câu 2: (4,0 điểm)

1. Giải phương trình: 5 sin 3 16 15sin 4 4 x x π π     − − = − +        

.

2. Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số. Chọn ngẫn nhiên một số thuộc tập A . Tính xác suất để số được chọn chia hết cho 13 và có chữ số tận cùng bằng 2.

Câu 3: (3,0 điểm) Giải hệ phương trình

( )

3 2

2 2 2 2 2 ( 5) 2 1 3 (1)

2 2x+4 6x 12 3 2x 4 5 6x 12 8 (2)

y x x y

x x y x x

 + + = + + − + − + = − + + − + + 

Câu 4: (2,0 điểm)

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho hình vuông ABCD , điểm   1;0 M là trung điểm của cạnh BC ,

điểm N thuộc cạnh CD sao cho 2 CN ND  , phương trình đường thẳng AN là: 2 0 x y    . Tìm tọa độ điểm A biết điểm A có hoành độ dương

Câu 5: (3,0 điểm)

Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 3 a , SA a = , 3 SB SC SD a = = = . Gọi M là trung điểm CD .

1. Tính thể tích khối chóp .S ABCM .

2. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SM và BC .

Câu 6: (2,0 điểm) Cho a , b , c là các số thực dương.

Chứng minh rằng:

( )( )

2 2 2 9 32 5 4 4 4 ab a c b c a b c − ≥− + + + + +

.

ĐÁP ÁN

2

NHÓM TOÁN VD_VDC

1. Cho hàm số ( ) 2 1 1 x y C x + = − và đường thẳng ( ) d có phương trình: 2 y x m = + . Tìm m để

đường thẳng ( ) d cắt đồ thị ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B sao cho diện tích tam giác OAB

bằng 5 4 (với O là gốc tọa độ).

Lời giải

Xét phương trình:

( )( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 4 1 0 1

x x x x m x x x m g x x m x m x

≠ ≠   +   = + ⇔ ⇔   + = − + = + − − − = −    

+) Đường thẳng ( ) d cắt ( ) C tại hai điểm phân biệt , A B

( ) 0 g x ⇔ = có hai nghiệm phân biệt khác 1

( ) ( ) ( )

2 2 4 8 1 0 24 0 ( )

1 3 0

m m m m

g

∆= − + − > ⇔ + > ∀ ∈  ⇔ = −≠ 



+) Gọi ( ) ( ) 1 1 2 2 ;2 ; ;2 A x x m B x x m + +

Khi đó 1 2 , x x là hai nghiệm: ( ) 0 g x = . Theo Viet thì

1 2

1 2

4 2 1 2

m x x

m x x

−  + = −  +  = − 

Ta có ( ): 2 0 d x y m − + =

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 5 24 8 16 4 4 , ; 5 5 4 5 4 2 4 5

m m m m m d O d AB x x x x x x +   − + +   = = − = + − = + =      

Khi đó: ( ) ( ) 2 2 5 24 24 1 1 , . . . 2 2 2 4 5 OAB m m m m S d O d AB + + = = =

( )( ) 2 4 2 2 2 5 24 5 24 25 0 1 25 0 1. 4 OAB S m m m m m m m = ⇔ + = ⇔ + − = ⇔ − + = ⇔ = ±

Vậy 1 m = ±

2. Cho hàm số 3 2 2( 1) (8 3) 8 6 y x m x m x m = + + + − + − . Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu trong đó một điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ hai, một điểm cực trị của đồ thị hàm số thuộc góc phần tư thứ tư của hệ trục tọa độ Oxy .

Lời giải

Ta có 2 ' 3 4( 1) (8 3) y x m x m = + + + − Hàm số có cực đại, cực tiểu khi ' 0 y = có hai nghiệm phân biệt.