Đề thi KSCL đội tuyển HSG Toán 12 năm 2018 - 2019 trường Yên Lạc 2 - Vĩnh Phúc

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC TRƯỜNG THPT YÊN LẠC 2

KỲ THI KSCL ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI KHỐI 12 ĐỀ THI MÔN: TOÁN NĂM HỌC 2018-2019 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề Câu 1 (2.5 điểm). a) Cho hàm số 3 2 2 3 4 2 y x mx m     có đồ thị là   m C . Tìm m để đồ thị hàm số   m C có

hai điểm cực trị , A B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 với điểm   1;4 . C

b) Cho hàm số 2 4 1 x y x    có đồ thị là  C và hai điểm     3;0 , 1; 1 M N   . Tìm trên đồ thị

hàm số  C hai điểm , A B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng MN . Câu 2 (2.0 điểm). a) Giải phương trình:   2 4cos 1 sin 2 3cos cos2 1 2sin . x x x x x    b) Một hộp đựng 9 tấm thẻ được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải rút ít nhất bao nhiêu thẻ để xác

suất có ít nhất một thẻ ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn 5. 6

Câu 3 (1.0 điểm).Giải hệ phương trình    

2 2 2

2 2 3 2 5 2 1 2 1 2 2 , 2 2 4 3

x x x x y y y x y x y x y

               

Câu 4 (1.5 điểm). Cho hình hộp đứng 1 1 1 1 . ABCD A B C D có các cạnh 1 2, 3 AB AD AA   

và góc  0 60 BAD  . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh 1 1 A D và 1 1. A B a) Chứng minh rằng 1 AC vuông góc với mặt phẳng   BDMN . b) Tính thể tích khối chóp . A BDMN . Câu 5 (1.0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD , đáy ABCD là hình chữ nhật có 3, 6, AB BC   mặt phẳng   SAB vuông góc với đáy, các mặt phẳng   SBC và   SCD cùng tạo với mặt

phẳng   ABCD các góc bằng nhau. Biết khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BD bằng

6. Tính thể tích khối chóp . S ABCD và cosin góc giữa hai đường thẳng SA và . BD Câu 6 (1.0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ tọa độ   Oxy , cho tam giác ABC ngoại tiếp đường

tròn tâm   2;1 . J Biết đường cao xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC có phương trình:

2 10 0 x y    và   2; 4 D  là giao điểm thứ hai của AJ với đường tròn ngoại tiếp tam giác . ABC Tìm tọa độ các đỉnh của tam giác ABC biết B có hoành độ âm và B thuộc đường thẳng có phương trình 7 0. x y    Câu 7 (1.0 điểm). Cho các số thực dương , , a b cthỏa mãn 1 a b c   .Tìm giá trị nhỏ nhất của

biểu thức   2 2 2 7 121 14 A a b c ab bc ca       .

------------------- Hết -------------------

- Thí sinh không sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:……………………………………………….; Số báo danh:………………

Trang 1/6, HDC HSG12-Môn Toán

SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang)

KỲ THI CHỌN HSG LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2018-2019 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN: TOÁN

I. LƯU Ý CHUNG: - Hướng dẫn chấm chỉ trình bày một cách giải với những ý cơ bản phải có. Khi chấm bài thí sinh làm theo cách khác nếu đúng và đủ ý thì vẫn cho điểm tối đa. - Điểm toàn bài tính đến 0,25 và không làm tròn. - Với bài hình học nếu thí sinh không vẽ hình phần nào thì không cho điểm tương ứng với phần đó. II. ĐÁP ÁN:

Câu 1.a (1.25 điểm) Cho hàm số 3 2 2 3 4 2 y x mx m     có đồ thị là   m C . Tìm m để đồ thị

hàm số   m C có hai điểm cực trị , A B sao cho diện tích tam giác ABC bằng 4 với điểm   1;4 . C

Nội dung Điểm TXĐ: . D  Đạo hàm: 2 ' 3 6 y x mx  

2 0 ' 0 3 6 0 . 2

x y x mx x m

        Để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị thì 0. m 

0.25

Tọa độ hai điểm cực trị là     2 3 2 0;4 2 , 2 ; 4 4 2 . A m B m m m    

Ta có:   3 2 6 4 2 ; 4 4 16 2 1 4 . AB m m AB m m m m        

Phương trình đường 2 2 : 2 4 2 0. AB m x y m    

0.5

 

2

4 6 2 ; 1 4

m d C AB m

   , suy ra  

3 1 ; . 6 2 2 ABC S d C AB AB m m     . 0.25

Do đó 3 1 6 2 4 .2

m m m m

       0.25

Câu 1.b (1.25 điểm) Cho hàm số 2 4 1 x y x    có đồ thị là  C và hai điểm

    3;0 , 1; 1 M N   . Tìm trên đồ thị hàm số  C hai điểm , A B sao cho chúng đối xứng nhau qua đường thẳng MN . Nội dung Điểm Phương trình đường : 2 3 0 MN x y    . Phương trình đường : 2 AB y x m   . 0.25

Khi đó hai điểm , A B có hoành độ thỏa mãn: 2 4 2 1 x x m x     . ĐK: 1. x 

Pt  2 2 4 0 1 x mx m     

0.25