Đề thi chọn học sinh giỏi tỉnh Toán 12 THPT năm 2018 - 2019 sở GD và ĐT Hải Dương

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

(Đề thi gồm 01 trang)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

Năm học 2018-2019

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 04 tháng 10 năm 2018

Thời gian làm bài: 180 phút

Câu I (2,0 điểm)

1) Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C . Tìm m để đường thẳng : d y x m = −+ cắt ( ) C tại hai

điểm phân biệt A và B sao cho PAB ∆ đều, biết ( ) 2;5 P . 2) Một mảnh đất hình chữ nhật ABCDcó chiều dài 25 AB m = , chiều rộng 20 AD m = được chia thành hai phần bằng nhau bởi vạch chắn MN ( , M N lần lượt là trung điểm BC và AD ). Một đội xây dựng làm một con đường đi từ Ađến C qua vạch chắn MN , biết khi làm đường trên miền ABMN mỗi giờ làm được 15mvà khi làm trong miền CDNM mỗi giờ làm được30m. Tính thời gian ngắn nhất mà đội xây dựng làm được con đường đi từ A đến C . Câu II (2,0 điểm)

1) Giải hệ phương trình

2 2 (3 1) 4 4 3 1. 3 4 4 2 3

x y y x

xy x x

 + + = + +  = + + + 

2) Trong cuộc thi: "Thiết kế và trình diễn các trang phục dân tộc" do Đoàn trường THPT tổ chức vào tháng 3 năm 2018 với thể lệ mỗi lớp tham gia một tiết mục. Kết quả có 12 tiết mục đạt giải trong đó có 4 tiết mục khối 12, có 5 tiết mục khối 11và 3 tiết mục khối 10. Ban tổ chức chọn ngẫu nhiên 5 tiết mục biểu diễn chào mừng 26 tháng 3. Tính xác suất sao cho khối nào cũng có tiết mục được biểu diễn và trong đó có ít nhất hai tiết mục của khối 12. Câu III (2,0 điểm)

1) Cho dãy số ( ) n u xác định bởi

2

1 1 1 1 1, , 1 n n n

u u u n u + + − = = ∀≥. Xét tính đơn điệu và bị chặn

của ( ) n u . 2) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình thang cân ABCD ( / / , ) AB CD AB CD > có AD DC = , (3;3) D . Đường thẳng AC có phương trình 2 0 x y − − = , đường thẳng AB đi qua ( 1; 1) M −− . Viết phương trình đường thẳng BC . Câu IV (3,0 điểm)

Cho hình hộp đứng . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D có đáy ABCDlà hình vuông . 1) Gọi S là tâm của hình vuông ' ' ' ' A B C D . SA, BC có trung điểm lần lượt là M và N . Tính thể tích của khối chóp .S ABC theo a , biết MN tạo với mặt phẳng ( ) ABCD một góc bằng 600 và AB a = . 2) Khi ' AA AB = . Gọi , R S lần lượt nằm trên các đoạn thẳng ’ , ’ A D CD sao cho RS vuông

góc với mặt phẳng ( ' ') CB D và 3 3 a RS = . Tính thể tích khối hộp . ’ ’ ’ ’ ABCD A B C D theo a .

3) Cho ' AA AB a = = . Gọi G là trung điểm ' BD , một ( ) mp P thay đổi luôn đi qua G cắt các đoạn thẳng ', ', ' ' AD CD D B tương ứng tại , , H I K . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức 1 1 1 ' . ' ' . ' ' . ' T D H D I D I D K D K D H = + + .

Câu V (1,0 điểm)

Cho các số dương , , a b c . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 3 1 6 P a ab abc a b c = − + + + + .

--- Hết --- Họ và tên thí sinh: ....................................................................... Số báo danh: ......................... Chữ kí giám thị coi thi số 1: .................................. Chữ kí giám thị coi thi số 2: .........................

ĐỀ CHÍNH THỨC

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HẢI DƯƠNG

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

Năm học 2018-2019

Môn thi: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 06 trang) Câu Nội dung Điểm Câu I.1

1,0 đ Cho hàm số 2 1 1 x y x − = + có đồ thị ( ) C . Tìm m để đường thẳng : d y x m = −+ cắt ( ) C

tại hai điểm phân biệt A và B sao cho PAB ∆ đều, biết ( ) 2;5 P .

hoành độ giao điểm của đường thẳng d và đồ thị ( ) C là nghiệm phương trình 2 1 1 x x m x −= −+ ⇔ + ( ) 2 ( 3) 1 0 1 x m x m − − − −= ( 1 x = −không là nghiệm của (1))

0,25

Đường thẳng d cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ( ) 1 có hai

nghiệm phân biệt 2 0 2 13 0 m m m ⇔∆> ⇔ − + > ⇔ ∈

0,25

Gọi 1 2 , x x là các nghiệm của phương trình (1), ta có:

1 2

1 2

3

1

x x m

x x m

+ = −   = − − 

Giả sử ( ) 1 1 ; A x x m − + , ( ) 2 2 ; B x x m − +

Khi đó ta có: ( )

2 1 2 2 AB x x = −

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 2 2 5 2 2 PA x x m x x = − + − + − = − + − ,

( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 5 2 2 PB x x m x x = − + − + − = − + −

Suy ra PAB ∆ cân tại P

0,25

Do đó PAB ∆ đều 2 2 PA AB ⇔ = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 …