Đề thi chọn HSG tỉnh Toán 12 THPT năm 2017 - 2018 sở GD và ĐT Hà Tĩnh

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH (Đề thi có 1 trang, gồm 5 câu)

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI TỈNH LỚP 12 THPT

NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút.

Câu 1. (5.0 điểm)

a. Cho hàm số 2 3 2 x y x

+ = + có đồ thị (C) và đường thẳng d: 2 y x m = − + . Chứng minh rằng

d cắt (C) tại hai điểm A, B phân biệt với mọi số thực m. Gọi , 1k 2 k lần lượt là hệ số góc của tiếp tuyến của (C) tại A và B. Tìm m để 1 2 4 k k + = .

b. Cho khai triển 2 0 1 2 (1 ) ... , , 1 n n n x a a x a x a x n n + = + + + + ∈ ≥ ℕ . Hỏi có bao nhiêu giá trị

2017 n ≤ sao cho tồn tại k thỏa mãn

1

7 15

k

k

a a + = .

Câu 2. (4.5 điểm) a. Tìm các giá trị của m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt 1 2 , x x thỏa mãn 2 2 1 2 1 x x + > 2 2 2 2 9 4 5 5 2 2log (2 4 2 ) log 2 0. x x m m x mx m + − − − + + + − =

b. Giải hệ phương trình ( )( ) 2

3 2

1 1 1

2 ( 1) ( 1) 2

x y y x

x y x xy

 + − + + =   + − + = 

.

Câu 3. (4.0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi, ; AB AC a = = tam giác SBD đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng ( ) ABCD . Gọi M là trung điểm của cạnh SC, mặt phẳng ( ) ABM chia khối chóp .S ABCD thành hai khối đa diện. a. Tính thể tích của khối đa diện không chứa điểm S. b. Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BM. Câu 4. (4.0 điểm) a. Giả sử hàm số ( ) y f x = có đạo hàm là hàm số '( ) y f x = ; đồ thị của hàm số '( ) y f x = được cho như hình vẽ bên và (0) (1) 2 (2) (4) (3) f f f f f + − = − . Hỏi trong các giá trị (0); (1); (4) f f f giá trị nào là giá trị nhỏ nhất của hàm số ( ) y f x = trên đoạn [0;4]?.

b. Cho hàm số 3 2 ( ) 2 9 12 f x x x x m = − + + . Tìm tất cả các số thực m sao cho với mọi số

thực , , [1;3] a b c∈ thì ( ); ( ); ( ) f a f b f c là độ dài ba cạnh của một tam giác. Câu 5. (2.5 điểm) Một công ty sữa muốn thiết kế hộp đựng sữa với thể tích hộp là 1 3 dm , hộp được thiết kế bởi một trong hai mẫu sau với cùng một loại vật liệu: mẫu 1 là hình hộp chữ nhật; mẫu 2 là hình trụ. Biết rằng chi phí làm mặt hình tròn cao hơn 1,2 lần chi phí làm mặt hình chữ nhật với cùng diện tích. Hỏi thiết kế hộp theo mẫu nào sẽ tiết kiệm chi phí hơn? (xem diện tích các phần nối giữa các mặt là không đáng kể). -------------------------------------HẾT ----------------------------------- - Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. - Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh: ..............................................Số báo danh:....................................................

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

x

y

2 4 O

1

Câu NỘI DUNG 1a

Xét phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị (C) và d:

2 3 2 2 x x m x

+ = − + + 2 2

2 (6 ) 3 2 0(*)

x

x m x m

≠−  ⇔ + − + − = 

Phương trình (*) có 2 2 (6 ) 8(3 2 ) 4 12 0, m m m m m ∆= − − − = + + > ∀∈ℝ và 2 x = − không là nghiệm của (*) nên đường thẳng d luôn cắt đồ thị (C) tại hai điểm phân biệt A, B với mọi m. Hệ số góc của tiếp tuyến tại A, tại B lần lượt là

1 2 2 2 1 2

1 1 , ( 2) ( 2) k k x x = = + + , trong đó 1x , 2x là 2 nghiệm của phương trình (*)

Ta có

( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2

1 1 2 2 2 4 2 2 2 2 4 k k k k x x x x x x + ≥ = = = + + + + +

Có “=” 2 2 1 2 1 2 2 2 1 2

1 1 ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) k k x x x x ⇔ = ⇔ = ⇔ + = + + +

1 2 ( 2) ( 2) x x ⇔ + = − + (do 1 2 x x ≠ ) 1 2 6 4 4 2 2 m x x m − ⇔ + = −⇔ = −⇔ = −

1b.

Theo giả thiết 1

7 ( 1)!( 1)! 7 15 !( )! 15

k n k n

C k n k C k n k + + − − = ⇔ = − với , , 1, 1 k n n k n ∈ ≥ ≤ − ℕ

1 7 7 22 15 15 k n k n k + ⇔ = ⇔ = + −

1 3 2 7 k n k + ⇔ = + +

Vì * 1 , , 1 7 k n k n + ∈ ≥⇒ ∈ ℕ ℕ. Đặt 1 7 1 22 1 7 k m k m n m + = ∈ ⇒ = −⇒ = − ℕ

Vì *, 2017 1 22 1 2017 1 91 n n m m ∈ ≤ ⇒≤ −≤ ⇒≤ ≤ ℕ Do đó có 91 giá trị của n thỏa mãn yêu cầu bài toán. 2a

2 2 2 2 9 4 5 5 2 2log (2 4 2 ) log 2 0 x x m m x mx m + − − − + + + − = (1)

Đk:

2 2

2 2 2 4 2 0

2 0

x x m m

x mx m

 − − + >  + − > 

Ta thấy ( )

2 9 4 5 2 5 + = + và

1 1 2 2 5 2 ( 5 2) ( 5 2)

− − = − = + nên phương trình

(1) 2 2 2 2 5 2 5 2 log (2 4 2 ) log ( 2 ) 0 x x m m x mx m + + …