Đề thi chọn HSG Toán THPT cấp tỉnh năm học 2017 - 2018 sở GD và ĐT Hưng Yên

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HƯNG YÊN ĐỀ CHÍNH THỨC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

Câu I (5,0 điểm)

1. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại giao

điểm của nó và đường thẳng 2 1 y x = + .

2. Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 4 y x x m x = − + + − , m là tham số. Tìm các giá trị của m để đồ thị

hàm số có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm 7 ;1 2 A     

đến đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị đó lớn nhất. Câu II (4,0 điểm)

1. Tìm nghiệm dương của phương trình ( ) ( ) 4 2 3 1 log 3 1 1 4 2 1 log 2

x x x x x + + − −= .

2. Giải phương trình 2 3 1 2 2 cos cos sin sin 2 sin 2 8 2 8 2 x x x x x   π π     − − + = +            

.

Câu III (4,0 điểm)

1. Cho hình chóp .S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với , 2 AB a AD a = = . Mặt bên ( ) SAB là tam giác cân tại S và vuông góc với mặt phẳng đáy. Khoảng cách từ B đến mặt

phẳng ( ) SAC bằng 6 3 a . Tính thể tích khối chóp .S ABCD theo a .

2. Cho hình lăng trụ tam giác đều . ABC A B C ′ ′ ′ có độ dài cạnh đáy bằng 2a , góc giữa mặt phẳng ( ) A BC ′ và mặt phẳng đáy bằng 0 60 . Gọi , M N lần lượt là trung điểm của các cạnh

BC và CC′ . Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng A M ′ và AN theo a . Câu IV (3,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

2 3 2 12 17 15 0

2 6 2 5 4.

x y xy x y

x x x y y y

 − − + − − =  − + − − = + + − + 

Câu V (2,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

( )( )( ) 2 2 2 cos cos 2 cos cos 2 cos cos 2 T A A B B C C = + + + + + + .

Câu VI (2,0 điểm) Cho dãy số ( ) nx được xác định bởi

1

2 1

1 2 1 , 2. 2 2

n n

x

x x n −

 =   + = ∀≥ 

1. Chứng minh rằng 1 1 8 2 nx − ≤ ≤ với mọi 1 n ≥.

2. Tìm giới hạn của dãy số ( ) nx khi n →+∞.

----------------- Hết -----------------

Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay.

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh: ........................................................... Số báo danh: ............................. Chữ kí của cán bộ coi thi: ....................................................................................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

HƯNG YÊN

( Hướng dẫn chấm gồm 6 trang)

HƯỚNG DẪN CHẤM KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THPT CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017 - 2018

Môn: TOÁN

I. Hướng dẫn chung 1) Hướng dẫn chấm thi này chỉ trình bày các bước chính của lời giải hoặc nêu kết quả. Trong bài làm, thí sinh phải trình bày lập luận đầy đủ.

2) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án mà vẫn đúng thì cho đủ điểm từng phần như hướng dẫn quy định.

3) Việc chi tiết hoá thang điểm (nếu có) so với thang điểm trong hướng dẫn phải đảm bảo không sai lệch với hướng dẫn chấm và được thống nhất thực hiện trong tổ chấm thi. Các điểm thành phần và điểm cộng toàn bài giữ nguyên không làm tròn.

II. Đáp án và thang điểm

Câu Đáp án Điểm Câu I.1 2,0 điểm

1. Cho hàm số 2 1 1 x y x − = − có đồ thị ( ) C . Viết phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại

giao điểm của ( ) C và đường thẳng 2 1 y x = + .

Xét hàm số 2 1 1 x y x − = − . Với 1 x ∀≠, ta có

( )

2 1

1 y x

− ′ = −

0,25

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) C và đường thẳng:

2 1 2 1 2 1 1 2 3 0

x x x x x x

≠  −= + ⇔ − − = 

0,5

0

3 2

x

x

=   ⇔= 

0,25

Với 0 x = tọa độ giao điểm ( ) 0;1 A

Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại ( ) 0;1 A là: 1 y x = −+

0,5

Với 3 2 x = tọa độ giao điểm 3;4 2 B     

Phương trình tiếp tuyến của ( ) C tại 3;4 2 B     

là: 4 10 y x = − +

0,5

Câu I.2 3,0 điểm

2. Cho hàm số ( ) 3 2 3 1 4 = − + + − y x x m x , m là tham số. Tìm m để đồ thị hàm số

có 2 điểm cực trị và khoảng cách từ điểm 7 ;1 2 A     

đến đường thẳng đi qua hai

điểm cực trị đó lớn nhất.

Với x ∀∈, ta có

2 3 6 1 y x x m ′ = − + + 0,25

Điều kiện để hàm số có hai cực trị là phương trình 0 y′ = có hai nghiệm

phân biệt ⇔phương trình

2 3 6 1 0 x x m − + + = có hai nghiệm phân …