Đề thi học sinh giỏi Toán 12 cấp tỉnh năm 2017 - 2018 sở GDĐT Lai Châu

Câu 1 ( 6,0 điểm)

a) Cho hàm số 4 2 1 = − + − y x mx m có đồ thị là ( ) m C .Tìm tất cả các giá trị thực của

tham số m để đồ thị ( ) m C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

b) Cho hàm số ( ) y f x = liên tục trên  thỏa mãn ( ) 3 2 2 2 1 f x x x + − = −. Tính tích

phân ( )

10

1 d I f x x = ∫ .

c) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình

2 25 2.10 4 0 x x x m − + = có

hai nghiệm trái dấu.

Câu 2 ( 4,0 điểm)

a) Cho hình lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D có đáy ABCD là hình thoi. Hình chiếu

vuông góc của ' A lên ( ) ABCD là trọng tâm của tam giác ABD. Biết = AB a,

 0 120 = ABC , ' = AA a . Tính thể tích khối lăng trụ . ' ' ' ' ABCD A B C D theo a .

b) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng − − = = 3 3 : 1 3 2 y x z d , mặt

phẳng ( ) α + − + = : 3 0 x y z và điểm ( ) − 1;2; 1 A . Viết phương trình chính tắc của

đường thẳng ∆ đi qua điểm A , cắt đường thẳng d và song song với mặt phẳng ( ) α .

Câu 3 ( 4,0 điểm) Giải hệ phương trình

2 2

3 2 4 2 6 3

2 2 3 1 2

            

x y x y xy

x x y x y

Câu 4 ( 3,0 điểm) Cho các số thực không âm , , a b c thỏa mãn 1 a b c + + = . Tìm giá trị lớn

nhất của biểu thức 3 5 P ab ac bc = + + .

Câu 5 ( 3,0 điểm) Có 20 người xếp thành một vòng tròn. Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5

người sao cho không có hai người kề nhau được chọn.

...................................Hết...............................

Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018

Môn: Toán Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/4/2018

Trang 01/01

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

(Đề thi có 01 trang)

Trang 1/4

ĐÁP ÁN THANG ĐIỂM

Môn: Toán HƯỚNG DẪN CHẤM - Điểm bài thi là tổng điểm của các câu thành phần. Thang điểm toàn bài là 20 điểm,

không được làm tròn (điểm lẻ từng ý trong một câu nhỏ nhất là 0,25)

- Thí sinh làm bài bằng cách khác, lập luận chặt chẽ, logic, ra kết quả đúng vẫn cho

điểm tối đa.

ĐÁP ÁN, BIỂU ĐIỂM

Câu 1

Ý a (2 điểm)

a) Cho hàm số 4 2 1 = − + − y x mx m có đồ thị là ( ) m C .Tìm tất cả các giá trị

thực của tham số m để đồ thị ( ) m C cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

Phương trình hoành độ giao điểm của ( ) m C và trục hoành là:

4 2 1 0 (1) − + −= x mx m 0.5

Đặt ( ) 2 0 = ≥ t x t . Khi đó (1) 2 1 0 (2) ⇔ − + −= t mt m 1 1 =  ⇔= − 

t t m

0.5

Yêu cầu bài toán (1) ⇔ có 4 nghiệm phân biệt (2) ⇔ có hai nghiệm phân biệt dương 0 1 1 ⇔ < −≠ m 0.5

1 2 >  ⇔ ≠ 

m m

. Vậy 1 2 >   ≠ 

m m

. 0.5

Câu 1

Ý b (2 điểm)

Cho hàm số ( ) y f x = có đạo hàm liên tục trên  thỏa mãn

( ) 3 2 2 2 1 f x x x + − = −. Tính tích phân ( )

10

1 d I f x x = ∫ .

Ta có: ( ) ( )

10 10

1 1 d I f x x f t dt = = ∫ ∫ . 0.5

Đặt ( ) 3 2 2 2 d 3 2 d t x x t x x = + − ⇒ = + .

Đổi cận: 1 1

10 2

t x

t x

= ⇒ =

= ⇒ = 0.5

Khi đó: ( ) ( )( )

10 2 3 2

1 1 2 2 3 2 I f t dt f x x x dx = = + − + ∫ ∫ . 0.5

( )( )

2 2

1

39 2 1 3 2 2 x x dx = − + = ∫ 0.5

UBND TỈNH LAI CHÂU SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 CẤP TỈNH

NĂM HỌC 2017-2018