Lời giải và bình luận đề thi VMO 2018

LỜI GIẢI VÀ BÌNH LUẬN ĐỀTHI VMO 2018

Trần Nam Dũng – Võ Quốc Bá Cẩn – Lê Phúc Lữ– Trần Quang Hùng

Nguyễn Lê Phước - Nguyễn Văn Huyện

1. Thông tin bản quyền

Bản quyền thuộc vềtất cảcác thành viên trong nhóm biên soạn (Trần Nam Dũng, Võ Quốc Bá Cẩn, Lê Phúc Lữ, Trần Quang Hùng, Nguyễn Lê Phước, Nguyễn Văn Huyện).

Đây là thành quảcủa quá trình lao động miệt mài của nhóm đểchia sẻđến cộng đồng. Mọi người đều có thểxem tài liệu MIỄN PHÍ. Tuy nhiên, vui lòng ghi rõ nguồn khi chia sẻ.

Tất cảcác hoạt động mua bán, kinh doanh liên quan đến tài liệu này mà không được sựchấp thuận của nhóm là trái pháp luật. Chúng ta hãy lên án những hành vi vi phạm bản quyền đểbảo vệquyền lợi của các tác giả, của những sản phẩm trí tuệ. Xin cảm ơn.

2. Đềthi

2.1. Ngày thi thứnhất (11/01/2018)

Bài 1 (5.0 điểm). Cho dãy số.xn/ xác định bởi x1 D 2 và

xnC1 D p

xn C 8 p

xn C 3; 8n 1:

a) Chứng minh rằng dãy số.xn/ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

b) Với mỗi sốnguyên dương n; chứng minh rằng n x1 C x2 C C xn n C 1:

Bài 2 (5.0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân ABC và D là một điểm trên cạnh BC: Lấy điểm E trên cạnh AB và lấy điểm F trên cạnh AC sao cho ∠DEB D ∠DFC: Các đường thẳng DF; DE lần lượt cắt AB; AC tại M; N: Gọi .I1/; .I2/ tương ứng là các đường tròn ngoại tiếp các tam giác DEM; DFN: Ký hiệu .J1/ là đường tròn tiếp xúc trong với .I1/ tại D và tiếp xúc với AB tại K; .J2/ là đường tròn tiếp xúc trong với .I2/ tại D và tiếp xúc với AC tại H; P là giao điểm của .I1/ và .I2/; Q là giao điểm của .J1/ và .J2/ (P; Q khác D).

a) Chứng minh rằng D; P; Q thẳng hàng.

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK và đường thẳng AQ lần lượt tại G và L (G; L khác A). Chứng minh rằng tiếp tuyến tại D của đường tròn ngoại tiếp tam giác DQG cắt đường thẳng EF tại một điểm nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác DLG:

Bài 3 (5.0 điểm). Một nhà đầu tư có hai mảnh đất hình chữnhật, các mảnh đất đều có kích thước là 120 m 100 m:

1

2 Lời giải và bình luận đềthi VMO 2018

a) Trên mảnh đất thứnhất, nhà đầu tư muốn xây một ngôi nhà có nền hình chữnhật kích thước 25 m 35 m và xây bên ngoài 9 bồn hoa hình tròn đường kính 5 m: Chứng minh rằng dù xây trước 9 bồn hoa ởđâu thì trên phần đất còn lại vẫn đủchỗxây ngôi nhà đó.

b) Trên mảnh đất thứhai, nhà đầu tư muốn xây một hồcá hình một đa giác lồi sao cho từmột điểm bất kỳtrên phần đất còn lại có thểđi không quá 5 m thì đến bờhồ. Chứng minh rằng chu vi của hồkhông nhỏhơn 440 20 p

2 m:

Bài 4 (5.0 điểm). Trong mặt phẳng O xy; cho .C/ là đồthịcủa hàm sốy D 3p

x 2: Một đường thẳng d thay đổi sao cho d cắt .C/ tại ba điểm phân biệt có hoành độlần lượt là x1; x2; x3: Chứng minh rằng

a) Đại lượng 3 q x2x3

x 2 1 C 3 q x3x1

x 2 2 C 3 q x1x2

x 2 3 là một hằng số.

b)

3q

x 2 1 x2x3 C 3q

x 2 2 x3x1 C 3q

x 2 3 x1x2 < 15

4 :

2.2. Ngày thi thứhai (12/01/2018)

Bài 5 (6.0 điểm). Cho các sốnguyên dương n và d : Xét tập hợp Sn.d / gồm tất cảcác bộsố có thứtự.x1; : : : ; xd / thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau

i) xi 2 f1; 2; : : : ; ng với mọi chỉsố1 i d I

ii) xi ¤ xi C1 với mọi chỉsố1 i d 1I

iii) không tồn tại các chỉsố1 i < j < k < l d sao cho xi D xk và xj D xl :

a) Tính sốphần tửcủa tập hợp S3.5/:

b) Chứng minh rằng tập hợp Sn.d / khác rỗng khi và chỉkhi d 2n 1:

Bài 6 (7.0 điểm). Cho dãy số.xn/ xác định bởi x0 D 2; x1 D 1 và

xnC2 D xnC1 C xn; 8n 0:

a) Với n 1; chứng minh rằng nếu xn là sốnguyên tốthì n là sốnguyên tốhoặc n không có ước nguyên tốlẻ.

b) Tìm tất cảcác cặp sốnguyên không âm .m; n/ sao cho xn chia hết cho xm:

Bài 7 (7.0 điểm). Cho tam giác nhọn không cân AB C có trọng tâm G nội tiếp đường tròn .O /: Gọi Ha; Hb ; Hc lần lượt là chân các đường cao hạtừcác đỉnh A; B; C của tam giác AB C và D; E; F lần lượt là trung điểm các cạnh B C ; CA; AB: Các tia GHa; GHb ; GHc lần lượt cắt .O / tại các điểm X; Y; Z:

a) Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác XCE đi qua trung điểm đoạn thẳng BHa:

b) Gọi M; N; P tương ứng là trung điểm các đoạn thẳng AX; B Y; C …