Đề thi chọn HSG cấp tỉnh Toán 12 năm học 2017 - 2018 sở GD và ĐT Bình Phước

Câu 1. (THPT 4,0 điểm; GDTX 5,0 điểm). Cho hàm số 2 2 1 x y x − = + .

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( ) C của hàm số.

b) Tìm điểm M thuộc ( ) C sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng 1 : 2 4 0 x y ∆ − + = bằng 2

3 lần

khoảng cách từ M đến đường thẳng 2 : 2 5 0 x y ∆ − + = .

Câu 2. (THPT 6,0 điểm; GDTX 6,0 điểm).

a) Giải phương trình: ( ) ( ) 3 2

2 4cos 2cos 2sin 1 sin 2 2 sin cos 0 2sin 1 x x x x x x x + − − − + = − .

b) Giải hệ phương trình:

     

3 6 2 2

2 3 ( 1) 3 ( 2) 3 4 0 , . 4 3 4 1 3 8 1 9

y x y x y x y x xy x x

             

              

c) Tìm hệ số của số hạng chứa 8x trong khai triển thành đa thức của ( ) 2 2 1 1 n x x +   + −   . Biết rằng

0 2 2 2 2 2 ... 2048. n n n n C C C + + + = Câu 3. (THPT 4,0 điểm; Thí sinh hệ GDTX không phải làm câu 3b, GDTX 3,0 điểm).

a) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có   1;2  A . Gọi , M N lần lượt là trung điểm

của các cạnh CD và AD , K là giao điểm của BM với CN . Viết phương trình của đường tròn ngoại tiếp tam giác BNK , biết đường thẳng BM có phương trình 2 8 0    x y và điểm B có hoành độ lớn hơn 2.

b) Cho đường tròn ( ) O đường kính AB , một đường thẳng d không có điểm chung với đường tròn ( ) O và

d vuông góc với AB kéo dài tại K ( B nằm giữa A và K ). Gọi C là một điểm nằm trên đường tròn ( ) O ,

(C khác A và B ). Gọi D là giao điểm của AC và d , từ D kẻ tiếp tuyến DE với đường tròn ( E là tiếp điểm và , E C nằm về hai phía của đường kính AB ). Gọi F là giao điểm của EB và d , G là giao điểm của

AF và ( ) O , H là điểm đối xứng của G qua AB . Chứng minh ba điểm , , F C H thẳng hàng.

Câu 4. (THPT 3,0 điểm; GDTX 4,0 điểm). Cho hình chóp . S ABCD có đáy ABCD là hình thang với , , 2 .    AB AD a CD a Biết rằng hai mặt phẳng   SAC và   SBD cùng vuông góc với mặt phẳng đáy,

góc giữa mặt phẳng ( ) SBC và mặt đáy bằng 0 45 . Tính theo a thể tích của khối chóp . S ABCD và khoảng cách giữa hai đường thẳng SD và . BC Câu 5. (THPT 2,0 điểm; GDTX 2,0 điểm).

Cho 0, 0 x y > > thỏa 4 4 6 4 x y xy + + = . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2 1 1 3 2 1 2 1 2 5 xy P x y x y − = + + + + − − .

Câu 6. (THPT 1,0 điểm; Thí sinh hệ GDTX không phải làm câu 6). Cho dãy số (uRnR) được xác định

như sau: ( ) +

 

= ≥ ∀∈ = +

1

2017 1

1 , * 1 n n n

u a n N u u u . Tìm

+ +

      + + +   + + +    

2017 2017 2017 1 2

2 3 1 2 3 1 1 2

lim ... . n

n n n

u u u u u u u u u u u u

UHết

ULưu ý:U Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính bỏ túi, giám thị coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:.....................................................Số báo danh:................................................... Chữ ký của giám thị 1:..............................................Chữ ký của giám thị 2:....................................

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

BÌNH PHƯỚC

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 12

NĂM HỌC 2017-2018

MÔN THI: TOÁN (Đề thi gồm có 01 trang)

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

Ngày thi: 28/09/2017

ĐỀ CHÍNH THỨC